Упр.16.40 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) $$z\operatorname{Re} z+z\operatorname{Im} z=3-2i$$; б) $$\frac{z}{\operatorname{Re} z}-\frac{2z}{\operatorname{Im} z}=z(1+2i)$$.

а) Пусть $$z=a+bi,$$ тогда $$\operatorname{Re} z=a,\qquad \operatorname{Im} z=b.$$

Подставим в уравнение:

$$z\,\operatorname{Re} z+\overline{z}\,\operatorname{Im} z=3-2i$$

$$(a+bi)a+(a-bi)b=3-2i$$

$$a^2+abi+ab-b^2i=3-2i$$

Приравниваем действительную и мнимую части:

$$\begin{cases} a^2+ab=3,\\ ab-b^2=-2. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$b=\dfrac{3-a^2}{a}$$, $$a\neq 0.$$ Подставим во второе:

$$a\cdot \frac{3-a^2}{a}-\left(\frac{3-a^2}{a}\right)^2=-2$$

$$a^2(3-a^2)-(3-a^2)^2=-2a^2$$

$$2a^4-11a^2+9=0$$

Обозначим $$t=a^2$$. Тогда

$$2t^2-11t+9=0$$

$$t_1=1,\qquad t_2=\frac{9}{2}.$$

Значит,

$$a=\pm 1,\qquad a=\pm \frac{3}{\sqrt2}.$$

Найдём соответствующие $$b$$:

$$a=1 \Rightarrow b=2,\qquad z=1+2i;$$

$$a=-1 \Rightarrow b=-2,\qquad z=-1-2i;$$

$$a=\frac{3}{\sqrt2} \Rightarrow b=-\frac{1}{\sqrt2},\qquad z=\frac{3}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt2}i;$$

$$a=-\frac{3}{\sqrt2} \Rightarrow b=\frac{1}{\sqrt2},\qquad z=-\frac{3}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}i.$$

б) Пусть $$z=a+bi,$$ тогда $$\overline z=a-bi.$$ Уравнение примет вид

$$\frac{z}{\operatorname{Re} z}-\frac{2\overline z}{\operatorname{Im} z}=z(1+2i),\qquad a\neq 0,\ b\neq 0.$$

Подставим $$z=a+bi$$:

$$\frac{a+bi}{a}-\frac{2(a-bi)}{b}=(a+bi)(1+2i).$$

После раскрытия скобок и приведения подобных получаем систему:

$$\begin{cases} 1-\dfrac{2a}{b}-a+2b=0,\\ \dfrac{b}{a}+2-b-2a=0. \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на $$b$$, второе на $$a$$:

$$\begin{cases} b-2a-ab+2b^2=0,\\ b+2a-ab+2a^2=0. \end{cases}$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$-4a+2b^2-2a^2=0$$

или

$$b^2-a^2-2a=0.$$

Из системы также удобно получить разложение:

$$(b-2a-ab+2b^2)-(b+2a-ab+2a^2)=0$$

$$(b+2a)(1-a)=0.$$

Рассмотрим случаи.

1) $$b+2a=0,$$ то есть $$b=-2a.$$ Подставим в $$b-2a-ab+2b^2=0$$:

$$-2a-2a+2a^2+8a^2=0$$

$$2a(5a-2)=0.$$

Так как $$a\neq 0,$$ то $$a=\frac25,$$ $$b=-\frac45.$$

2) $$a=1.$$ Тогда из $$b+2a-ab+2a^2=0$$ получаем

$$b+2-b+2=0,$$

что невозможно. Значит, этот случай не подходит.

Следовательно, решение во втором пункте:

$$z=\frac25-\frac45 i.$$

Ответ

а) $$z=1+2i,\ -1-2i,\ \frac{3}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt2}i,\ -\frac{3}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}i.$$

б) $$z=\frac25-\frac45 i.$$