Упр.16.39 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

16.39 a) z2 + 2z + 1 = 0;
б) z2 — 2(z + z) + 4 = 0.

Пусть $$z=a+bi,$$ тогда $$\overline z=a-bi.$$

а)

$$z^2+2z+1=0$$
$$z^2+2z+1=(z+1)^2,$$
значит
$$ (z+1)^2=0 \Rightarrow z=-1. $$

б)

$$z^2-2(z+\overline z)+4=0$$
$$ (a+bi)^2-2\bigl((a+bi)+(a-bi)\bigr)+4=0$$
$$ a^2+2abi-b^2-4a+4=0. $$

Приравниваем действительную и мнимую части:

$$ \begin{cases} a^2-b^2-4a+4=0,\\ 2ab=0. \end{cases} $$

Из $$2ab=0$$ получаем $$a=0$$ или $$b=0.$$

1) Если $$a=0,$$ то

$$-b^2+4=0 \Rightarrow b=\pm 2,$$
то есть $$z=\pm 2i.$$

2) Если $$b=0,$$ то

$$a^2-4a+4=0 \Rightarrow (a-2)^2=0 \Rightarrow a=2,$$
то есть $$z=2.$$

Проверка показывает, что все найденные значения подходят.

Ответ

а) $$z=-1$$;
б) $$z=2,\; z=2i,\; z=-2i.$$