Упр.16.37 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Найдите пару комплексных чисел $$z$$ и $$u$$, для которой выполняются соотношения:

а) $$2z+u=11i$$ и $$2z-3ui=17$$;

б) $$3z-2u=1$$ и $$z-iu=-6i$$.

а) Пусть $$z=a_1+b_1i,$$ $$u=a_2+b_2i.$$ Тогда из условий получаем систему:

$$\begin{cases} 2(a_1+b_1i)+(a_2+b_2i)=11i,\\ 2(a_1+b_1i)-3(a_2+b_2i)i=17. \end{cases}$$

Приравниваем действительные и мнимые части:

$$\begin{cases} 2a_1+a_2=0,\\ 2b_1+b_2=11,\\ 2a_1-3b_2=17,\\ 2b_1+3a_2=0. \end{cases}$$

Из системы получаем два решения:

$$z=10-3i,\quad u=1+5i$$

или

$$z=7+2i,\quad u=-1+15i.$$

б) Пусть $$z=a_1+b_1i,$$ $$u=a_2+b_2i.$$ Тогда:

$$\begin{cases} 3(a_1+b_1i)-2(a_2+b_2i)=1,\\ (a_1+b_1i)-i(a_2+b_2i)=-6i. \end{cases}$$

Раскроем скобки и приравняем действительные и мнимые части:

$$\begin{cases} 3a_1-2a_2=1,\\ 3b_1-2b_2=0,\\ a_1+b_2=0,\\ b_1-a_2=-6. \end{cases}$$

Решая систему, получаем:

$$z=1-5i,\quad u=1+\frac{15}{2}i.$$

Ответ

а) $$z=10-3i,\ u=1+5i$$ или $$z=7+2i,\ u=-1+15i.$$

б) $$z=1-5i,\ u=1+\frac{15}{2}i.$$