Упр.16.36 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Упростите выражение:

а)

$$\frac{1+2i}{3+4i}-\frac{1-2i}{3-4i} = \frac{(1+2i)(3-4i)-(1-2i)(3+4i)}{(3+4i)(3-4i)}$$

Вычислим числитель и знаменатель:
$$(1+2i)(3-4i)=3-4i+6i-8i^2=11+2i,$$
$$(1-2i)(3+4i)=3+4i-6i-8i^2=11-2i,$$
$$(3+4i)(3-4i)=9-16i^2=25.$$
Тогда
$$\frac{(11+2i)-(11-2i)}{25}=\frac{4i}{25}.$$

б)

$$\frac{3+2i}{12-5i}+\frac{3-2i}{12+5i} = \frac{(3+2i)(12+5i)+(3-2i)(12-5i)}{(12-5i)(12+5i)}$$

Вычислим:
$$(3+2i)(12+5i)=36+15i+24i+10i^2=26+39i,$$
$$(3-2i)(12-5i)=36-15i-24i+10i^2=26-39i,$$
$$(12-5i)(12+5i)=144+25=169.$$
Следовательно,
$$\frac{(26+39i)+(26-39i)}{169}=\frac{52}{169}.$$

Ответ

а) $$\frac{4i}{25}$$; б) $$\frac{52}{169}$$.