Упр.16.34 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Пусть $$u$$ и $$v$$ — произвольные комплексные числа. Докажите, что:

а) $$\overline{u+v}=\overline{u}+\overline{v}$$;

б) $$\overline{u-v}=\overline{u}-\overline{v}$$;

в) $$\overline{uv}=\overline{u}\,\overline{v}$$;

г) $$\overline{\left(\frac{u}{v}\right)}=\frac{\overline{u}}{\overline{v}}$$, если $$v\ne0$$;

д) $$\overline{u^n}=(\overline{u})^n$$, $$n\in\mathbb{N}$$.

Пусть $$u=a_1+b_1i,$$ $$v=a_2+b_2i,$$ тогда $$\overline{u}=a_1-b_1i,$$ $$\overline{v}=a_2-b_2i.$$

1. Докажем, что $$\overline{u+v}=\overline{u}+\overline{v}.$$

   $$u+v=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i,$$
   $$\overline{u+v}=(a_1+a_2)-(b_1+b_2)i.$$

   $$\overline{u}+\overline{v}=(a_1-b_1i)+(a_2-b_2i)=(a_1+a_2)-(b_1+b_2)i.$$

   Следовательно, $$\overline{u+v}=\overline{u}+\overline{v}.$$

2. Докажем, что $$\overline{u-v}=\overline{u}-\overline{v}.$$

   $$u-v=(a_1-a_2)+(b_1-b_2)i,$$
   $$\overline{u-v}=(a_1-a_2)-(b_1-b_2)i.$$

   $$\overline{u}-\overline{v}=(a_1-b_1i)-(a_2-b_2i)=(a_1-a_2)-(b_1-b_2)i.$$

   Значит, $$\overline{u-v}=\overline{u}-\overline{v}.$$

3. Докажем, что $$\overline{uv}=\overline{u}\,\overline{v}.$$

   $$uv=(a_1+b_1i)(a_2+b_2i)=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i,$$
   $$\overline{uv}=(a_1a_2-b_1b_2)-(a_1b_2+a_2b_1)i.$$

   $$\overline{u}\,\overline{v}=(a_1-b_1i)(a_2-b_2i)=(a_1a_2-b_1b_2)-(a_1b_2+a_2b_1)i.$$

   Следовательно, $$\overline{uv}=\overline{u}\,\overline{v}.$$

4. Докажем, что $$\overline{\frac{u}{v}}=\frac{\overline{u}}{\overline{v}},$$ если $$v\ne 0.$$

   $$\frac{u}{v}=\frac{a_1+b_1i}{a_2+b_2i}=\frac{(a_1+b_1i)(a_2-b_2i)}{a_2^2+b_2^2} =\frac{a_1a_2+b_1b_2}{a_2^2+b_2^2}+\frac{b_1a_2-a_1b_2}{a_2^2+b_2^2}i.$$

   Тогда
   $$\overline{\frac{u}{v}}=\frac{a_1a_2+b_1b_2}{a_2^2+b_2^2}-\frac{b_1a_2-a_1b_2}{a_2^2+b_2^2}i =\frac{a_1a_2+b_1b_2}{a_2^2+b_2^2}+\frac{a_1b_2-b_1a_2}{a_2^2+b_2^2}i.$$

   С другой стороны,
   $$\frac{\overline{u}}{\overline{v}}=\frac{a_1-b_1i}{a_2-b_2i} =\frac{(a_1-b_1i)(a_2+b_2i)}{a_2^2+b_2^2} =\frac{a_1a_2+b_1b_2}{a_2^2+b_2^2}+\frac{a_1b_2-b_1a_2}{a_2^2+b_2^2}i.$$

   Значит, $$\overline{\frac{u}{v}}=\frac{\overline{u}}{\overline{v}}.$$

5. Докажем, что $$\overline{u^n}=(\overline{u})^n,$$ $$n\in\mathbb{N}.$$

   При $$n=1$$ утверждение верно. Предположим, что для некоторого $$n$$ выполнено $$\overline{u^n}=(\overline{u})^n.$$ Тогда

   $$\overline{u^{n+1}}=\overline{u^n\cdot u}=\overline{u^n}\cdot\overline{u}=(\overline{u})^n\cdot\overline{u}=(\overline{u})^{n+1}.$$

   Следовательно, $$\overline{u^n}=(\overline{u})^n$$ для всех $$n\in\mathbb{N}.$$

Ответ

$$\overline{u+v}=\overline{u}+\overline{v},\quad \overline{u-v}=\overline{u}-\overline{v},\quad \overline{uv}=\overline{u}\,\overline{v},\quad \overline{\frac{u}{v}}=\frac{\overline{u}}{\overline{v}},\quad \overline{u^n}=(\overline{u})^n.$$