Упр.16.33 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 16.33 Докажите, что сумма и произведение взаимно сопряженных чисел — действительные числа. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 16-33 118

Пусть взаимно сопряжённые числа имеют вид $$z_1=a+bi$$ и $$z_2=a-bi,$$ где $$a,b \in \mathbb{R}.$$

Найдём их сумму:

$$z_1+z_2=(a+bi)+(a-bi)=2a.$$

Так как $$a$$ — действительное число, то и $$2a$$ — действительное число.

Найдём их произведение:

$$z_1z_2=(a+bi)(a-bi)=a^2-b^2i^2=a^2+b^2.$$

Поскольку $$a^2+b^2$$ — действительное число, произведение взаимно сопряжённых чисел тоже является действительным.

Ответ

Сумма и произведение взаимно сопряжённых чисел — действительные числа.