Упр.16.33 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Докажите, что сумма и произведение взаимно сопряжённых чисел — действительные числа.

Пусть взаимно сопряжённые числа имеют вид $$z_1=a+bi$$ и $$z_2=a-bi,$$ где $$a,b \in \mathbb{R}.$$

Найдём их сумму:

$$z_1+z_2=(a+bi)+(a-bi)=2a.$$

Так как $$a$$ — действительное число, то и $$2a$$ — действительное число.

Найдём их произведение:

$$z_1z_2=(a+bi)(a-bi)=a^2-b^2i^2=a^2+b^2.$$

Поскольку $$a^2+b^2$$ — действительное число, произведение взаимно сопряжённых чисел тоже является действительным.

Ответ

Сумма и произведение взаимно сопряжённых чисел — действительные числа.