Упр.16.30 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- Найдите все комплексные числа $$z$$, удовлетворяющие двум условиям: а) $$z^2=-15+8i$$ и $$\operatorname{Im}z>0$$; б) $$z^2=5+12i$$ и $$\operatorname{Re}z<0$$.
а) Пусть $$z=x+yi,$$ тогда
$$z^2=(x+yi)^2=x^2-y^2+2xyi.$$
По условию
$$\begin{cases} x^2-y^2=-15,\\ 2xy=8,\\ y>0. \end{cases}$$
Из второго уравнения получаем $$xy=4,$$ значит $$x=\dfrac{4}{y}.$$ Подставим в первое уравнение:
$$\left(\dfrac{4}{y}\right)^2-y^2=-15.$$
Умножим на $$y^2$$:
$$16-y^4=-15y^2,$$
$$y^4-15y^2-16=0.$$
Обозначим $$t=y^2.$$ Тогда
$$t^2-15t-16=0,$$
$$t=16 \text{ или } t=-1.$$
Так как $$y^2>0,$$ то $$y^2=16,$$ откуда $$y=4$$ (поскольку $$y>0$$). Тогда
$$x=\dfrac{4}{y}=1.$$
Следовательно, $$z=1+4i.$$
б) Пусть $$z=x+yi,$$ тогда
$$z^2=x^2-y^2+2xyi.$$
По условию
$$\begin{cases} x^2-y^2=5,\\ 2xy=12,\\ x<0. \end{cases}$$
Из второго уравнения имеем $$xy=6,$$ значит $$y=\dfrac{6}{x}.$$ Подставим в первое уравнение:
$$x^2-\left(\dfrac{6}{x}\right)^2=5.$$
Умножим на $$x^2$$:
$$x^4-5x^2-36=0.$$
Обозначим $$t=x^2.$$ Тогда
$$t^2-5t-36=0,$$
$$t=9 \text{ или } t=-4.$$
Так как $$x^2>0,$$ то $$x^2=9,$$ откуда $$x=\pm 3.$$ По условию $$x<0,$$ значит $$x=-3.$$ Тогда
$$y=\dfrac{6}{x}=-2.$$
Следовательно, $$z=-3-2i.$$
Ответ
а) $$1+4i$$; б) $$-3-2i$$.
