Упр.16.30 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) z2 = -15 + 8i и Imz > 0;
б) z2 = 5 + 12i и Rez < 0.

а) Пусть $$z=x+yi,$$ тогда

$$z^2=(x+yi)^2=x^2-y^2+2xyi.$$

По условию

$$ \begin{cases} x^2-y^2=-15,\\ 2xy=8,\\ y>0. \end{cases} $$

Из второго уравнения получаем $$xy=4,$$ значит $$x=\dfrac{4}{y}.$$ Подставим в первое уравнение:

$$\left(\dfrac{4}{y}\right)^2-y^2=-15.$$

Умножим на $$y^2$$:

$$16-y^4=-15y^2,$$

$$y^4-15y^2-16=0.$$

Обозначим $$t=y^2.$$ Тогда

$$t^2-15t-16=0,$$

$$t=16 \text{ или } t=-1.$$

Так как $$y^2>0,$$ то $$y^2=16,$$ откуда $$y=4$$ (поскольку $$y>0$$). Тогда

$$x=\dfrac{4}{y}=1.$$

Следовательно, $$z=1+4i.$$

б) Пусть $$z=x+yi,$$ тогда

$$z^2=x^2-y^2+2xyi.$$

По условию

$$ \begin{cases} x^2-y^2=5,\\ 2xy=12,\\ x<0. \end{cases} $$

Из второго уравнения имеем $$xy=6,$$ значит $$y=\dfrac{6}{x}.$$ Подставим в первое уравнение:

$$x^2-\left(\dfrac{6}{x}\right)^2=5.$$

Умножим на $$x^2$$:

$$x^4-5x^2-36=0.$$

Обозначим $$t=x^2.$$ Тогда

$$t^2-5t-36=0,$$

$$t=9 \text{ или } t=-4.$$

Так как $$x^2>0,$$ то $$x^2=9,$$ откуда $$x=\pm 3.$$ По условию $$x<0,$$ значит $$x=-3.$$ Тогда

$$y=\dfrac{6}{x}=-2.$$

Следовательно, $$z=-3-2i.$$

Ответ

а) $$1+4i$$; б) $$-3-2i$$.