Упр.16.29 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Определите все пары $$(x; y)$$ действительных чисел $$x$$ и $$y$$, для каждой из которых выполняется равенство:
   а) $$(2 + xi)^3 = -46 + yi$$;
   б) $$(y + bi)(2y + 3i) = x — xi$$.

а) Раскроем скобки:

$$(2+xi)^3=8+12xi+6x^2i^2+x^3i^3$$

Так как $$i^2=-1$$, $$i^3=-i$$, получаем

$$(2+xi)^3=(8-6x^2)+(12x-x^3)i$$

По условию

$$(8-6x^2)+(12x-x^3)i=-46+yi$$

Приравниваем действительные и мнимые части:

$$\begin{cases} 8-6x^2=-46,\\ 12x-x^3=y. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$6x^2=54,\quad x^2=9,\quad x=\pm 3.$$

Если $$x=-3$$, то

$$y=12\cdot(-3)-(-3)^3=-36+27=-9.$$

Если $$x=3$$, то

$$y=12\cdot 3-3^3=36-27=9.$$

б) Раскроем скобки:

$$(y+bi)(2y+3i)=2y^2+3yi+2byi+3bi^2$$

Так как $$i^2=-1$$, получаем

$$(y+bi)(2y+3i)=(2y^2-3b)+(3y+2by)i$$

По условию это равно $$x-xi$$, значит

$$\begin{cases} 2y^2-3b=x,\\ 3y+2by=-x. \end{cases}$$

Из второго уравнения:

$$x=-y(3+2b).$$

Подставим в первое:

$$2y^2-3b=-y(3+2b),$$

то есть

$$2y^2+(3+2b)y-3b=0.$$

При $$b=5$$ получаем

$$2y^2+13y-15=0.$$

Тогда

$$D=13^2-4\cdot 2\cdot(-15)=169+120=289,$$

$$y=\frac{-13\pm 17}{4}.$$

Отсюда

$$y_1=1,\qquad y_2=-\frac{15}{2}.$$

Найдём $$x$$:

$$x=-13y.$$

Если $$y=1$$, то $$x=-13$$.

Если $$y=-\frac{15}{2}$$, то $$x=\frac{195}{2}=97{,}5$$.

Ответ

а) $$(-3;\,-9),\ (3;\,9)$$;

б) $$(-13;\,1),\ \left(97{,}5;\,-7{,}5\right)$$.