Упр.16.29 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) (2 + xi)3 = -46 + yi;
б) (у + bi)(2y + 3i) = х — хi.

а) Раскроем скобки:

$$ (2+xi)^3=8+12xi+6x^2i^2+x^3i^3 $$

Так как $$i^2=-1$$, $$i^3=-i$$, получаем

$$ (2+xi)^3=(8-6x^2)+(12x-x^3)i $$

По условию

$$ (8-6x^2)+(12x-x^3)i=-46+yi $$

Приравниваем действительные и мнимые части:

$$ \begin{cases} 8-6x^2=-46,\\ 12x-x^3=y. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$ 6x^2=54,\quad x^2=9,\quad x=\pm 3. $$

Если $$x=-3$$, то

$$ y=12\cdot(-3)-(-3)^3=-36+27=-9. $$

Если $$x=3$$, то

$$ y=12\cdot 3-3^3=36-27=9. $$

б) Раскроем скобки:

$$ (y+bi)(2y+3i)=2y^2+3yi+2byi+3bi^2 $$

Так как $$i^2=-1$$, получаем

$$ (y+bi)(2y+3i)=(2y^2-3b)+(3y+2by)i $$

По условию это равно $$x-xi$$, значит

$$ \begin{cases} 2y^2-3b=x,\\ 3y+2by=-x. \end{cases} $$

Из второго уравнения:

$$ x=-y(3+2b). $$

Подставим в первое:

$$ 2y^2-3b=-y(3+2b), $$

то есть

$$ 2y^2+(3+2b)y-3b=0. $$

При $$b=5$$ получаем

$$ 2y^2+13y-15=0. $$

Тогда

$$ D=13^2-4\cdot 2\cdot(-15)=169+120=289, $$

$$ y=\frac{-13\pm 17}{4}. $$

Отсюда

$$ y_1=1,\qquad y_2=-\frac{15}{2}. $$

Найдём $$x$$:

$$ x=-13y. $$

Если $$y=1$$, то $$x=-13$$.

Если $$y=-\frac{15}{2}$$, то $$x=\frac{195}{2}=97{,}5$$.

Ответ

а) $$(-3;\,-9),\ (3;\,9)$$;

б) $$(-13;\,1),\ \left(97{,}5;\,-7{,}5\right)$$.