Упр.16.28 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 16.28 Определите все действительные числа а, при каждом из которых является действительным числом выражение:

Подробный ответ

а) Упростим выражение:

$$ 1+12i+48i^2+64i^3+\frac{(a+100i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} $$
$$ =1+12i-48-64i+\frac{a+100i-ai-100i^2}{2} $$
$$ =-47-52i+\frac{a+100}{2}+\frac{100-a}{2}i $$
$$ =\left(3+\frac{a}{2}\right)+\left(-2-\frac{a}{2}\right)i $$

Чтобы выражение было действительным числом, мнимая часть должна быть равна нулю:

$$ -2-\frac{a}{2}=0 $$
$$ a=-4 $$

б) Упростим выражение:

$$ 8-60i+150i^2-125i^3+\frac{a^2+8i+16i^2}{i} $$
$$ =8-60i-150+125i+\frac{a^2+8i-16}{i} $$
$$ =-142+65i+\frac{a^2-16+8i}{i} $$
$$ =-142+65i-\left(a^2-16+8i\right)i $$
$$ =-142+65i-a^2i+16i-8i^2 $$
$$ =-134+\left(81-a^2\right)i $$

Это выражение будет действительным числом, если

$$ 81-a^2=0 $$
$$ a^2=81 $$
$$ a=\pm 9 $$