Упр.16.28 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Определите все действительные числа $$a$$, при каждом из которых является действительным числом выражение:

а) Упростим выражение:

$$1+12i+48i^2+64i^3+\frac{(a+100i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}$$
$$=1+12i-48-64i+\frac{a+100i-ai-100i^2}{2}$$
$$=-47-52i+\frac{a+100}{2}+\frac{100-a}{2}i$$
$$=\left(3+\frac{a}{2}\right)+\left(-2-\frac{a}{2}\right)i$$

Чтобы выражение было действительным числом, мнимая часть должна быть равна нулю:

$$-2-\frac{a}{2}=0$$
$$a=-4$$

б) Упростим выражение:

$$8-60i+150i^2-125i^3+\frac{a^2+8i+16i^2}{i}$$
$$=8-60i-150+125i+\frac{a^2+8i-16}{i}$$
$$=-142+65i+\frac{a^2-16+8i}{i}$$
$$=-142+65i-\left(a^2-16+8i\right)i$$
$$=-142+65i-a^2i+16i-8i^2$$
$$=-134+\left(81-a^2\right)i$$

Это выражение будет действительным числом, если

$$81-a^2=0$$
$$a^2=81$$
$$a=\pm 9$$

Ответ

а) $$a=-4$$; б) $$a=\pm 9$$.