Упр.16.25 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) 1/i;
б) -1/i;
в) 1/(1+i);
г) 1/(1-i);
д) 1-(1+i) + 1/(1-i);
е) i3-2i2+i-1;
ж) i80+i22+i7+i5+i.

Приведём каждое выражение к виду $$a+bi$$, используя равенство $$i^2=-1$$.

1. $$\frac{1}{i}=\frac{1\cdot i}{i\cdot i}=\frac{i}{i^2}=-i.$$
2. $$-\frac{1}{i}=-\frac{1\cdot i}{i\cdot i}=-\frac{i}{i^2}=i.$$
3. $$\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{(1+i)(1-i)}=\frac{1-i}{1-i^2}=\frac{1-i}{2}=\frac12-\frac12 i.$$
4. $$\frac{1}{1-i}=\frac{1+i}{(1-i)(1+i)}=\frac{1+i}{1-i^2}=\frac{1+i}{2}=\frac12+\frac12 i.$$
5. $$1-(1+i)+\frac{1}{1-i}=1-1-i+\frac12+\frac12 i=\frac12-\frac12 i.$$
6. $$i^3-2i^2+i-1=-i-2(-1)+i-1=-i+2+i-1=1.$$
7. $$i^{80}+i^{22}+i^7+i^5+i=1+(-1)+i+ i+i=3i.$$

Ответ

а) $$-i$$;
б) $$i$$;
в) $$\frac12-\frac12 i$$;
г) $$\frac12+\frac12 i$$;
д) $$\frac12-\frac12 i$$;
е) $$1$$;
ж) $$3i$$.