Упр.16.14 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Что называют частным от деления комплексного числа $$z_1=a_1+b_1i$$ на комплексное число $$z_2=a_2+b_2i$$ ($$z_2\ne 0+0i$$)? Докажите, что для любых комплексных чисел $$z_1$$ и $$z_2$$ их частное $$\frac{z_1}{z_2}$$ существует и единственно.

Подробный ответ

Пусть частное комплексных чисел $$z_1=a_1+b_1i$$ и $$z_2=a_2+b_2i$$, где $$z_2\neq 0,$$ равно $$z_3=x+yi.$$ Тогда по определению

$$z_3z_2=z_1.$$

Перемножим:

$$(x+yi)(a_2+b_2i)=(a_2x-b_2y)+(b_2x+a_2y)i.$$

Приравнивая действительную и мнимую части к $$z_1=a_1+b_1i,$$ получаем систему:

$$\begin{cases} a_2x-b_2y=a_1,\\ b_2x+a_2y=b_1. \end{cases}$$

Найдём $$x$$ и $$y$$. Умножим первое уравнение на $$a_2,$$ второе — на $$b_2$$ и сложим:

$$a_2^2x-a_2b_2y=a_1a_2,$$

$$b_2^2x+a_2b_2y=b_1b_2.$$

Складывая, получаем

$$(a_2^2+b_2^2)x=a_1a_2+b_1b_2,$$

откуда

$$x=\frac{a_1a_2+b_1b_2}{a_2^2+b_2^2}.$$

Теперь умножим первое уравнение на $$-b_2,$$ а второе — на $$a_2$$ и сложим:

$$-a_2b_2x+b_2^2y=-a_1b_2,$$

$$a_2b_2x+a_2^2y=a_2b_1.$$

Тогда

$$(a_2^2+b_2^2)y=a_2b_1-a_1b_2,$$

значит

$$y=\frac{a_2b_1-a_1b_2}{a_2^2+b_2^2}.$$

Следовательно,

$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1a_2+b_1b_2}{a_2^2+b_2^2} + \frac{a_2b_1-a_1b_2}{a_2^2+b_2^2}i.$$

Так как $$z_2\neq 0,$$ то $$a_2^2+b_2^2\neq 0,$$ и найденные $$x$$ и $$y$$ определяются единственным образом. Значит, частное $$\dfrac{z_1}{z_2}$$ существует и единственно.