Упр.16.14 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 16.14 Что называют частным от деления комплексного числа z1 = ai + b1i на комплексное число z2 = а2 + b2i (z2 =/ 0 + 0i)? Докажите, что для любых комплексных чисел z1 и z2 их частное z1/z2 существует и единственно. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 16-14 118

Подробный ответ

Пусть частное комплексных чисел $$z_1=a_1+b_1i$$ и $$z_2=a_2+b_2i$$, где $$z_2\neq 0,$$ равно $$z_3=x+yi.$$ Тогда по определению

$$z_3z_2=z_1.$$

Перемножим:

$$ (x+yi)(a_2+b_2i)=(a_2x-b_2y)+(b_2x+a_2y)i. $$

Приравнивая действительную и мнимую части к $$z_1=a_1+b_1i,$$ получаем систему:

$$ \begin{cases} a_2x-b_2y=a_1,\\ b_2x+a_2y=b_1. \end{cases} $$

Найдём $$x$$ и $$y$$. Умножим первое уравнение на $$a_2,$$ второе — на $$b_2$$ и сложим:

$$ a_2^2x-a_2b_2y=a_1a_2, $$

$$ b_2^2x+a_2b_2y=b_1b_2. $$

Складывая, получаем

$$ (a_2^2+b_2^2)x=a_1a_2+b_1b_2, $$

откуда

$$ x=\frac{a_1a_2+b_1b_2}{a_2^2+b_2^2}. $$

Теперь умножим первое уравнение на $$-b_2,$$ а второе — на $$a_2$$ и сложим:

$$ -a_2b_2x+b_2^2y=-a_1b_2, $$

$$ a_2b_2x+a_2^2y=a_2b_1. $$

Тогда

$$ (a_2^2+b_2^2)y=a_2b_1-a_1b_2, $$

значит

$$ y=\frac{a_2b_1-a_1b_2}{a_2^2+b_2^2}. $$

Следовательно,

$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1a_2+b_1b_2}{a_2^2+b_2^2} + \frac{a_2b_1-a_1b_2}{a_2^2+b_2^2}i. $$

Так как $$z_2\neq 0,$$ то $$a_2^2+b_2^2\neq 0,$$ и найденные $$x$$ и $$y$$ определяются единственным образом. Значит, частное $$\dfrac{z_1}{z_2}$$ существует и единственно.