Упр.16.13 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Что называют разностью комплексных чисел $$z_1=a_1+b_1i$$ и $$z_2=a_2+b_2i$$? Докажите, что для любых комплексных чисел $$z_1$$ и $$z_2$$ их разность существует, единственна и вычисляется по правилу $$z_3=(a_1-a_2)+(b_1-b_2)i$$.

Разностью комплексных чисел $$z_1=a_1+b_1i$$ и $$z_2=a_2+b_2i$$ называют такое комплексное число $$z_3=x+yi,$$ которое в сумме с $$z_2$$ даёт число $$z_1$$, то есть

$$z_2+z_3=z_1.$$

По определению равенства комплексных чисел это равносильно системе

$$\begin{cases} a_2+x=a_1,\\ b_2+y=b_1. \end{cases}$$

Отсюда

$$x=a_1-a_2,\qquad y=b_1-b_2.$$

Значит, разность существует и единственна, а вычисляется по формуле

$$z_1-z_2=(a_1-a_2)+(b_1-b_2)i.$$

Ответ

Разностью комплексных чисел $$z_1=a_1+b_1i$$ и $$z_2=a_2+b_2i$$ называют комплексное число $$z_3$$, для которого $$z_2+z_3=z_1.$$ Для любых комплексных чисел разность существует, единственна и равна

$$z_1-z_2=(a_1-a_2)+(b_1-b_2)i.$$