Упр.16.12 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 16.12 Докажите справедливость основных законов сложения и умножения комплексных чисел. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 16-12 118

Пусть $$z_1=a_1+b_1i,$$ $$z_2=a_2+b_2i,$$ $$z_3=a_3+b_3i.$$ Докажем основные законы сложения и умножения комплексных чисел.

1. Переместительный закон сложения:

   $$ z_1+z_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i=(a_2+a_1)+(b_2+b_1)i=z_2+z_1. $$

2. Сочетательный закон сложения:

   $$ (z_1+z_2)+z_3=((a_1+a_2)+a_3)+((b_1+b_2)+b_3)i $$

   $$ =(a_1+(a_2+a_3))+(b_1+(b_2+b_3))i=z_1+(z_2+z_3). $$

3. Переместительный закон умножения:

   $$ z_1z_2=(a_1+b_1i)(a_2+b_2i)=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i. $$

   Так как $$a_1a_2=a_2a_1,$$ $$b_1b_2=b_2b_1,$$ $$a_1b_2+a_2b_1=a_2b_1+a_1b_2,$$ то

   $$ z_1z_2=(a_2a_1-b_2b_1)+(a_2b_1+a_1b_2)i=z_2z_1. $$

4. Сочетательный закон умножения:

   $$ (z_1z_2)z_3=\bigl((a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i\bigr)(a_3+b_3i). $$

   После раскрытия скобок получаем

   $$ (z_1z_2)z_3= (a_1a_2a_3-a_1b_2b_3-a_2b_1b_3-b_1b_2a_3) $$
   $$ +\,(a_1a_2b_3+a_1b_2a_3+a_2b_1a_3-b_1b_2b_3)i. $$

   С другой стороны,

   $$ z_1(z_2z_3)=(a_1+b_1i)\bigl((a_2a_3-b_2b_3)+(a_2b_3+b_2a_3)i\bigr), $$

   и после раскрытия скобок получаем то же самое выражение. Значит,

   $$ (z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3). $$

5. Распределительный закон:

   $$ z_1(z_2+z_3)=(a_1+b_1i)\bigl((a_2+a_3)+(b_2+b_3)i\bigr) $$

   $$ =(a_1a_2+a_1a_3-b_1b_2-b_1b_3) +(a_1b_2+a_1b_3+b_1a_2+b_1a_3)i. $$

   А также

   $$ z_1z_2+z_1z_3 $$

   $$ =(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+b_1a_2)i+(a_1a_3-b_1b_3)+(a_1b_3+b_1a_3)i, $$

   то есть

   $$ z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3. $$

6. Нейтральный элемент сложения:

   $$ z+0=(a+bi)+(0+0i)=a+bi=z. $$

7. Противоположный элемент:

   $$ z+(-z)=(a+bi)+(-a-bi)=0. $$

8. Нейтральный элемент умножения:

   $$ 1\cdot z=(1+0i)(a+bi)=a+bi=z. $$

9. Обратный элемент умножения: для $$z\neq 0$$ существует число $$\dfrac{1}{z},$$ такое что

   $$ z\cdot \frac{1}{z}=1. $$

Ответ

Основные законы сложения и умножения комплексных чисел справедливы.