Упр.159 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 159 (РЭА). Найдите больший корень уравнения:

Подробный ответ

Пусть $$a=\left(\sqrt[3]{4-\sqrt{15}}\right)^x.$$ Тогда
$$\sqrt[3]{4-\sqrt{15}}\cdot \sqrt[3]{4+\sqrt{15}}=\sqrt[3]{(4-\sqrt{15})(4+\sqrt{15})}=\sqrt[3]{1}=1,$$
значит
$$\sqrt[3]{4+\sqrt{15}}=\frac{1}{\sqrt[3]{4-\sqrt{15}}}.$$
Уравнение принимает вид
$$a+\frac{1}{a}=8.$$
Умножим на $$a$$:
$$a^2-8a+1=0.$$
Решим квадратное уравнение:
$$D=64-4=60,$$
$$a_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{60}}{2}=4\pm\sqrt{15}.$$
Тогда
$$\left(\sqrt[3]{4-\sqrt{15}}\right)^x=4-\sqrt{15} \quad \text{или} \quad \left(\sqrt[3]{4-\sqrt{15}}\right)^x=4+\sqrt{15}.$$
Так как
$$4-\sqrt{15}=\left(\sqrt[3]{4-\sqrt{15}}\right)^3,$$
а
$$4+\sqrt{15}=\left(\sqrt[3]{4-\sqrt{15}}\right)^{-3},$$
получаем
$$x=3 \quad \text{или} \quad x=-3.$$
Больший корень: $$x=3.$$
Пусть $$a=\left(\sqrt[5]{3+2\sqrt2}\right)^x.$$ Тогда
$$\sqrt[5]{3+2\sqrt2}\cdot \sqrt[5]{3-2\sqrt2}=\sqrt[5]{(3+2\sqrt2)(3-2\sqrt2)}=\sqrt[5]{1}=1,$$
значит
$$\sqrt[5]{3-2\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt[5]{3+2\sqrt2}}.$$
Уравнение принимает вид
$$a+\frac{1}{a}=2.$$
Умножим на $$a$$:
$$a^2-2a+1=0,$$
$$\left(a-1\right)^2=0,$$
откуда $$a=1.$$ Тогда
$$\left(\sqrt[5]{3+2\sqrt2}\right)^x=1.$$
Так как основание не равно $$1$$, получаем
$$x=0.$$
Пусть $$a=(\sqrt3-1)^x.$$ Тогда
$$\sqrt3-1=\frac{2}{\sqrt3+1},$$
и уравнение можно переписать так:
$$2(\sqrt3-1)^x+2^{x+1}=2(\sqrt3+1)^x.$$
Разделим на $$2^x$$:
$$(\sqrt3-1)^x+2=\frac{2}{(\sqrt3-1)^x}.$$
Получаем
$$a+2-\frac{2}{a}=0.$$
Умножим на $$a$$:
$$a^2+2a-2=0.$$
Решим уравнение:
$$D=4+8=12,$$
$$a_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}=-1\pm\sqrt3.$$
Так как $$a=(\sqrt3-1)^x>0,$$ подходит только
$$a=\sqrt3-1.$$
Тогда
$$(\sqrt3-1)^x=\sqrt3-1,$$
откуда
$$x=1.$$
Пусть $$a=\sqrt{\sqrt{10}+1}.$$ Тогда
$$\sqrt{\sqrt{10}-1}\cdot \sqrt{\sqrt{10}+1}=3,$$
значит
$$\sqrt{\sqrt{10}-1}=\frac{3}{\sqrt{\sqrt{10}+1}}=\frac{3}{a}.$$
Уравнение принимает вид
$$3^x+3^x a=2\cdot \frac{3^x}{a}.$$
Так как $$3^x>0,$$ делим на $$3^x$$:
$$1+a=\frac{2}{a}.$$
Умножим на $$a$$:
$$a^2+a-2=0.$$
Решим уравнение:
$$D=1+8=9,$$
$$a_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{2},$$
то есть $$a=1$$ или $$a=-2.$$
Так как $$a>0,$$ получаем $$a=1.$$ Тогда
$$\sqrt{\sqrt{10}+1}=1,$$
что невозможно. Следовательно, уравнение не имеет решений.