Упр.159 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Найдите больший корень уравнения:

1. Пусть $$a=\left(\sqrt[3]{4-\sqrt{15}}\right)^x.$$ Тогда

   $$\sqrt[3]{4-\sqrt{15}}\cdot \sqrt[3]{4+\sqrt{15}}=\sqrt[3]{(4-\sqrt{15})(4+\sqrt{15})}=\sqrt[3]{1}=1,$$

   значит

   $$\sqrt[3]{4+\sqrt{15}}=\frac{1}{\sqrt[3]{4-\sqrt{15}}}.$$

   Уравнение принимает вид

   $$a+\frac{1}{a}=8.$$

   Умножим на $$a$$:

   $$a^2-8a+1=0.$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D=64-4=60,$$

   $$a_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{60}}{2}=4\pm\sqrt{15}.$$

   Тогда

   $$\left(\sqrt[3]{4-\sqrt{15}}\right)^x=4-\sqrt{15} \quad \text{или} \quad \left(\sqrt[3]{4-\sqrt{15}}\right)^x=4+\sqrt{15}.$$

   Так как

   $$4-\sqrt{15}=\left(\sqrt[3]{4-\sqrt{15}}\right)^3,$$

   а

   $$4+\sqrt{15}=\left(\sqrt[3]{4-\sqrt{15}}\right)^{-3},$$

   получаем

   $$x=3 \quad \text{или} \quad x=-3.$$

   Больший корень: $$x=3.$$

2. Пусть $$a=\left(\sqrt[5]{3+2\sqrt2}\right)^x.$$ Тогда

   $$\sqrt[5]{3+2\sqrt2}\cdot \sqrt[5]{3-2\sqrt2}=\sqrt[5]{(3+2\sqrt2)(3-2\sqrt2)}=\sqrt[5]{1}=1,$$

   значит

   $$\sqrt[5]{3-2\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt[5]{3+2\sqrt2}}.$$

   Уравнение принимает вид

   $$a+\frac{1}{a}=2.$$

   Умножим на $$a$$:

   $$a^2-2a+1=0,$$

   $$\left(a-1\right)^2=0,$$

   откуда $$a=1.$$ Тогда

   $$\left(\sqrt[5]{3+2\sqrt2}\right)^x=1.$$

   Так как основание не равно $$1$$, получаем

   $$x=0.$$

3. Пусть $$a=(\sqrt3-1)^x.$$ Тогда

   $$\sqrt3-1=\frac{2}{\sqrt3+1},$$

   и уравнение можно переписать так:

   $$2(\sqrt3-1)^x+2^{x+1}=2(\sqrt3+1)^x.$$

   Разделим на $$2^x$$:

   $$(\sqrt3-1)^x+2=\frac{2}{(\sqrt3-1)^x}.$$

   Получаем

   $$a+2-\frac{2}{a}=0.$$

   Умножим на $$a$$:

   $$a^2+2a-2=0.$$

   Решим уравнение:

   $$D=4+8=12,$$

   $$a_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}=-1\pm\sqrt3.$$

   Так как $$a=(\sqrt3-1)^x>0,$$ подходит только

   $$a=\sqrt3-1.$$

   Тогда

   $$(\sqrt3-1)^x=\sqrt3-1,$$

   откуда

   $$x=1.$$

4. Пусть $$a=\sqrt{\sqrt{10}+1}.$$ Тогда

   $$\sqrt{\sqrt{10}-1}\cdot \sqrt{\sqrt{10}+1}=3,$$

   значит

   $$\sqrt{\sqrt{10}-1}=\frac{3}{\sqrt{\sqrt{10}+1}}=\frac{3}{a}.$$

   Уравнение принимает вид

   $$3^x+3^x a=2\cdot \frac{3^x}{a}.$$

   Так как $$3^x>0,$$ делим на $$3^x$$:

   $$1+a=\frac{2}{a}.$$

   Умножим на $$a$$:

   $$a^2+a-2=0.$$

   Решим уравнение:

   $$D=1+8=9,$$

   $$a_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{2},$$

   то есть $$a=1$$ или $$a=-2.$$

   Так как $$a>0,$$ получаем $$a=1.$$ Тогда

   $$\sqrt{\sqrt{10}+1}=1,$$

   что невозможно. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ

а) $$3$$; б) $$0$$; в) $$1$$; г) решений нет.