Упр.158 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
Рассмотрим уравнение
$$\log_{\sin x}(3\sin x-\cos x)=0.$$
Логарифм равен нулю тогда и только тогда, когда его основание и аргумент удовлетворяют условиям:
$$\begin{cases} 3\sin x-\cos x=1,\\ \sin x>0,\\ \sin x\ne 1. \end{cases}$$
Решим уравнение $$3\sin x-\cos x=1.$$ Используем формулы половинного аргумента:
$$3\sin x-\cos x=1$$
$$3\cdot 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}-\left(\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}\right)=\sin^2 \frac{x}{2}+\cos^2 \frac{x}{2}.$$
После преобразований получаем:
$$2\cos^2 \frac{x}{2}\left(3\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}-1\right)=0.$$
Отсюда
$$\cos \frac{x}{2}=0 \quad \text{или} \quad 3\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}-1=0.$$
Первый случай даёт
$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z,$$
но при этом $$\sin x=0,$$ значит, это не подходит.
Во втором случае
$$3\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=1 \quad \Longleftrightarrow \quad \cot \frac{x}{2}=1.$$
Тогда
$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z,$$
то есть
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$
Рассмотрим уравнение
$$\sqrt[3]{\frac{2+x}{x}}-\sqrt[3]{\frac{2-6x}{x}}=1.$$
Сделаем замену:
$$a=\sqrt[3]{\frac{2+x}{x}},\qquad b=\sqrt[3]{\frac{2-6x}{x}}.$$
Тогда
$$a-b=1.$$
Возведём в куб разность:
$$a^3-b^3=\frac{2+x}{x}-\frac{2-6x}{x}=7,\qquad x\ne 0.$$
Получаем систему
$$\begin{cases} a-b=1,\\ a^3-b^3=7. \end{cases}$$
Так как $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),$$ то
$$a^2+ab+b^2=7.$$
Подставим $$a=b+1$$:
$$(b+1)^2+b(b+1)+b^2=7,$$
$$3b^2+3b-6=0,$$
$$b^2+b-2=0.$$
Отсюда
$$b=1 \quad \text{или} \quad b=-2.$$
1) Если $$b=1,$$ то $$a=2,$$ и
$$\sqrt[3]{\frac{2-6x}{x}}=1 \Longrightarrow \frac{2-6x}{x}=1 \Longrightarrow 2=7x \Longrightarrow x=\frac{2}{7}.$$
2) Если $$b=-2,$$ то $$a=-1,$$ и
$$\sqrt[3]{\frac{2-6x}{x}}=-2 \Longrightarrow \frac{2-6x}{x}=-8 \Longrightarrow 2=-2x \Longrightarrow x=-1.$$
Ответ
а) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$
б) $$x\in \left\{-1,\frac{2}{7}\right\}.$$
