Упр.158 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 158

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение
$$\log_{\sin x}(3\sin x-\cos x)=0.$$
Логарифм равен нулю тогда и только тогда, когда его основание и аргумент удовлетворяют условиям:
$$ \begin{cases} 3\sin x-\cos x=1,\\ \sin x>0,\\ \sin x\ne 1. \end{cases} $$
Решим уравнение $$3\sin x-\cos x=1.$$ Используем формулы половинного аргумента:
$$ 3\sin x-\cos x=1 $$
$$ 3\cdot 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}-\left(\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}\right)=\sin^2 \frac{x}{2}+\cos^2 \frac{x}{2}. $$
После преобразований получаем:
$$ 2\cos^2 \frac{x}{2}\left(3\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}-1\right)=0. $$
Отсюда
$$ \cos \frac{x}{2}=0 \quad \text{или} \quad 3\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}-1=0. $$
Первый случай даёт
$$ x=\pi+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z, $$
но при этом $$\sin x=0,$$ значит, это не подходит.
Во втором случае
$$ 3\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=1 \quad \Longleftrightarrow \quad \cot \frac{x}{2}=1. $$
Тогда
$$ \frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z, $$
то есть
$$ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z. $$
Рассмотрим уравнение
$$\sqrt[3]{\frac{2+x}{x}}-\sqrt[3]{\frac{2-6x}{x}}=1.$$
Сделаем замену:
$$ a=\sqrt[3]{\frac{2+x}{x}},\qquad b=\sqrt[3]{\frac{2-6x}{x}}. $$
Тогда
$$a-b=1.$$
Возведём в куб разность:
$$ a^3-b^3=\frac{2+x}{x}-\frac{2-6x}{x}=7,\qquad x\ne 0. $$
Получаем систему
$$ \begin{cases} a-b=1,\\ a^3-b^3=7. \end{cases} $$
Так как $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),$$ то
$$ a^2+ab+b^2=7. $$
Подставим $$a=b+1$$:
$$ (b+1)^2+b(b+1)+b^2=7, $$
$$ 3b^2+3b-6=0, $$
$$ b^2+b-2=0. $$
Отсюда
$$ b=1 \quad \text{или} \quad b=-2. $$
1) Если $$b=1,$$ то $$a=2,$$ и
$$ \sqrt[3]{\frac{2-6x}{x}}=1 \Longrightarrow \frac{2-6x}{x}=1 \Longrightarrow 2=7x \Longrightarrow x=\frac{2}{7}. $$
2) Если $$b=-2,$$ то $$a=-1,$$ и
$$ \sqrt[3]{\frac{2-6x}{x}}=-2 \Longrightarrow \frac{2-6x}{x}=-8 \Longrightarrow 2=-2x \Longrightarrow x=-1. $$