Упр.157 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

$$4\arcsin(2x-7)-\arccos(5x-124)=\frac{6\pi}{x}$$

Рассмотрим уравнение

$$4\arcsin(2^x-7)-\arccos(5^x-124)=\frac{6\pi}{x}.$$

Так как

$$\arcsin(2^x-7)\le \frac{\pi}{2}, \qquad \arccos(5^x-124)\ge 0,$$

то левая часть не превосходит

$$4\cdot \frac{\pi}{2}-0=2\pi.$$

Значит, должно выполняться

$$\frac{6\pi}{x}\le 2\pi,$$

откуда

$$\frac{3}{x}\le 1.$$

Кроме того, для существования обратных тригонометрических функций нужно, чтобы

$$-1\le 2^x-7\le 1,$$

то есть

$$6\le 2^x\le 8,$$

следовательно,

$$2<x\le 3.$$

Так как при $$x\le 3$$ имеем

$$2x\le 6,$$

то

$$2\pi \le \frac{6\pi}{x}.$$

Следовательно, чтобы равенство выполнялось, необходимо

$$4\arcsin(2^x-7)-\arccos(5^x-124)=2\pi,$$

и одновременно

$$\frac{6\pi}{x}=2\pi.$$

Из второго равенства получаем

$$x=3.$$

Проверка: при $$x=3$$

$$2^3-7=1,\qquad 5^3-124=1,$$

поэтому

$$\arcsin 1=\frac{\pi}{2}, \qquad \arccos 1=0,$$

и

$$4\cdot \frac{\pi}{2}-0=2\pi=\frac{6\pi}{3}.$$

Ответ

$$3$$