Упр.154 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 154 (МГУ, мехмат). 4х — 3| х — 1| = 4 корень (5х + 14) — 3 корень (5х — 14) — 1. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 povtor/154 118

Запишем уравнение правильно:

$$4x-3|x-1|=4\sqrt{5x+14}-3\left|\sqrt{5x+14}-1\right|.$$

Обозначим

$$t=\sqrt{5x+14}, \qquad t\ge 0.$$

Тогда уравнение примет вид

$$4x-3|x-1|=4t-3|t-1|.$$

Рассмотрим функцию

$$f(t)=4t-3|t-1|.$$

При $$t\ge 1$$ имеем

$$f(t)=4t-3(t-1)=t+3,$$

а при $$t<1$$

$$f(t)=4t-3(1-t)=7t-3.$$

В обоих случаях функция $$f(t)$$ возрастает, значит из равенства $$f(x)=f(t)$$ следует

$$x=t.$$

Тогда

$$x=\sqrt{5x+14}.$$

Возведём в квадрат:

$$x^2=5x+14,$$

$$x^2-5x-14=0,$$

$$\left(x-7\right)\left(x+2\right)=0.$$

Получаем

$$x=7 \quad \text{или} \quad x=-2.$$

Но так как $$x=\sqrt{5x+14}$$, то обязательно $$x\ge 0$$. Поэтому подходит только значение $$x=7$$.

Ответ

$$7$$