Упр.153 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 153 (МГУ, экон. ф-т)

Так как из условия следует, что $$x>0,$$ то можно упростить выражения под корнями:

$$\sqrt{\frac{6}{x}-x-4}=\sqrt{\frac{6-4x-x^2}{x}}=\sqrt{6-4x-x^2},$$

$$\sqrt{\frac{6}{x^2}-\frac{4}{x}-1}=\sqrt{\frac{6-4x-x^2}{x^2}}=\sqrt{6-4x-x^2}.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\sqrt3\cos\!\left(\pi\sqrt{6-4x-x^2}\right)+3\sin\!\left(\pi\sqrt{6-4x-x^2}\right)=\sqrt{12}.$$

Разделим обе части на $$2\sqrt3$$:

$$\frac12\cos\!\left(\pi\sqrt{6-4x-x^2}\right)+\frac{\sqrt3}{2}\sin\!\left(\pi\sqrt{6-4x-x^2}\right)=1.$$

Используем формулу:

$$\cos\left(t-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cos t+\frac{\sqrt3}{2}\sin t.$$

Получаем

$$\cos\!\left(\pi\sqrt{6-4x-x^2}-\frac{\pi}{3}\right)=1.$$

Значит,

$$\pi\sqrt{6-4x-x^2}-\frac{\pi}{3}=2\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

откуда

$$\sqrt{6-4x-x^2}=\frac13+2k.$$

Так как левая часть неотрицательна, то

$$\frac13+2k\ge 0.$$

Возводим в квадрат:

$$6-4x-x^2=\left(\frac13+2k\right)^2,$$

или

$$x^2+4x-6+\left(\frac13+2k\right)^2=0.$$

Рассмотрим дискриминант этого квадратного уравнения:

$$D=16-4\left(-6+\left(\frac13+2k\right)^2\right)=40-4\left(\frac13+2k\right)^2.$$

Чтобы были действительные корни, нужно

$$40-4\left(\frac13+2k\right)^2\ge 0,$$

то есть

$$0\le \frac13+2k\le \sqrt{10}.$$

Целые значения $$k$$: $$k=0,1.$$

1) При $$k=0$$:

$$D=40-4\left(\frac13\right)^2=40-\frac49=\frac{356}{9}.$$

$$x=\frac{-4\pm \sqrt{356/9}}{2}=\frac{-12\pm \sqrt{356}}{6}.$$

С учётом условия $$x>0$$ получаем

$$x=\frac{\sqrt{356}-12}{6}=\frac{\sqrt{89}-6}{3}.$$

2) При $$k=1$$:

$$D=40-4\left(\frac73\right)^2=40-\frac{196}{9}=\frac{164}{9}.$$

$$x=\frac{-4\pm \sqrt{164/9}}{2}=\frac{-12\pm \sqrt{164}}{6}.$$

С учётом условия $$x>0$$ получаем

$$x=\frac{\sqrt{164}-12}{6}=\frac{\sqrt{41}-6}{3}.$$

Оба найденных значения удовлетворяют условию $$x>0$$ и исходному уравнению.

Ответ

$$x=\frac{\sqrt{89}-6}{3},\ \frac{\sqrt{41}-6}{3}.$$