Упр.152 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

$$2\sin 2x\cos(5x^2)-\sin(5x^2+2x)=0$$

Используем формулу суммы синусов:

$$\sin(5x^2+2x)=\sin 5x^2\cos 2x+\cos 5x^2\sin 2x.$$

Тогда исходное уравнение

$$2\sin 2x\cos 5x^2-\sin(5x^2+2x)=0$$

преобразуется к виду

$$2\sin 2x\cos 5x^2-\sin 5x^2\cos 2x-\cos 5x^2\sin 2x=0,$$

то есть

$$\sin 2x\cos 5x^2-\sin 5x^2\cos 2x=0.$$

По формуле синуса разности получаем:

$$\sin(2x-5x^2)=0.$$

Следовательно,

$$2x-5x^2=\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$5x^2-2x+\pi k=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-2)^2-4\cdot 5\cdot \pi k=4-20\pi k,$$

$$x=\frac{2\pm\sqrt{4-20\pi k}}{10}=\frac{1\pm\sqrt{1-5\pi k}}{5}.$$

Чтобы корни были действительными, нужно

$$1-5\pi k\ge 0.$$

Ответ

$$x=\frac{1\pm\sqrt{1-5\pi k}}{5},\quad k\in\mathbb Z,\quad 1-5\pi k\ge 0.$$