Упр.150 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 150 (МГУ, геол. ф-т).

Рассмотрим уравнение

$$\frac{\log_3(-x)}{\log_9(-5x-4)}=1.$$

Тогда числитель и знаменатель должны быть равны:

$$\log_3(-x)=\log_9(-5x-4).$$

Переходим к одному основанию. Так как $$9=3^2,$$ то

$$\log_9(-5x-4)=\frac{1}{2}\log_3(-5x-4).$$

Следовательно,

$$\log_3(-x)=\frac{1}{2}\log_3(-5x-4),$$

откуда

$$2\log_3(-x)=\log_3(-5x-4).$$

Используем свойство логарифма:

$$\log_3\bigl((-x)^2\bigr)=\log_3(-5x-4).$$

Тогда

$$x^2=-5x-4,$$

или

$$x^2+5x+4=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$x^2+5x+4=(x+1)(x+4)=0.$$

Получаем корни:

$$x=-1,\quad x=-4.$$

Проверим область допустимых значений:

$$-x>0 \Rightarrow x<0,$$

$$-5x-4>0 \Rightarrow x<-\frac45.$$

Оба найденных значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ

$$x=-1,\,-4.$$