Упр.15.9 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
Для каждого значения параметра $$a$$ определите, сколько корней имеет уравнение:
а) $$x^3-3x^2+a=0$$;
б) $$x^4-2x^2+a=0$$.
а) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^3-3x^2.$$ Она непрерывна на $$(-\infty;+\infty).$$
Найдём точки экстремума:
$$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2).$$
Отсюда $$x=0$$ и $$x=2.$$
Значения функции в этих точках:
$$f(0)=0,\qquad f(2)=8-12=-4.$$
Так как
$$\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty,$$
то график функции имеет локальный максимум $$0$$ и локальный минимум $$-4.$$ Уравнение
$$x^3-3x^2+a=0$$
равносильно
$$f(x)=-a.$$
Число корней зависит от положения прямой $$y=-a$$ относительно графика:
- если $$-a>0$$, то есть $$a<0$$, — один корень;
- если $$-a=0$$, то есть $$a=0$$, — два корня;
- если $$-4<-a<0$$, то есть $$0<a<4$$, — три корня;
- если $$-a=-4$$, то есть $$a=4$$, — два корня;
- если $$-a<-4$$, то есть $$a>4$$, — один корень.
б) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^4-2x^2.$$ Она непрерывна на $$(-\infty;+\infty).$$
Найдём точки экстремума:
$$f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1).$$
Отсюда $$x=-1,\;0,\;1.$$
Значения функции в этих точках:
$$f(-1)=f(1)=-1,\qquad f(0)=0.$$
Кроме того,
$$\lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty.$$
Уравнение
$$x^4-2x^2+a=0$$
равносильно
$$f(x)=-a.$$
По графику получаем:
- если $$-a>0$$, то есть $$a<0$$, — два корня;
- если $$-a=0$$, то есть $$a=0$$, — четыре корня;
- если $$-1<-a<0$$, то есть $$0<a<1$$, — четыре корня;
- если $$-a=-1$$, то есть $$a=1$$, — три корня;
- если $$-a<-1$$, то есть $$a>1$$, — два корня.
Ответ
а) при $$a<0$$ и $$a>4$$ — один корень; при $$a=0$$ и $$a=4$$ — два корня; при $$0<a<4$$ — три корня.
б) при $$a<0$$ и $$a>1$$ — два корня; при $$a=1$$ — три корня; при $$0\le a<1$$ — четыре корня.
