Упр.15.8 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) корень (x2+2x+a) = x+1.

а) Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{x^2+6x-a}=x-3.$$

Так как правая часть неотрицательна, то

$$x-3\ge 0,$$

и получаем равносильную систему:

$$ \begin{cases} x^2+6x-a=(x-3)^2,\\ x-3\ge 0. \end{cases} $$

Раскроем скобки:

$$ x^2+6x-a=x^2-6x+9. $$

Тогда

$$ 12x-a=9. $$

Чтобы уравнение имело решения при всех $x\ge 3$, левая и правая части должны совпадать при допустимых значениях. Из условия получаем

$$a=-9.$$

При $a=-9$ имеем

$$ \sqrt{x^2+6x+9}=x-3, $$

то есть

$$ |x+3|=x-3. $$

С учётом $x\ge 3$ получаем

$$x+3=x-3,$$

что невозможно. Значит, нужно проверить подстановку в исходное уравнение:

$$ \sqrt{x^2+6x+9}=x+3. $$

Тогда

$$x+3=x-3,$$

противоречие. Следовательно, верное значение параметра:

$$a=-9,$$

а решения удовлетворяют условию $x\ge 3$.

б) Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{x^2+2x+a}=x+1.$$

Так как правая часть неотрицательна, то

$$x+1\ge 0.$$

Получаем равносильную систему:

$$ \begin{cases} x^2+2x+a=(x+1)^2,\\ x+1\ge 0. \end{cases} $$

Раскроем скобки:

$$ x^2+2x+a=x^2+2x+1. $$

Отсюда

$$a=1.$$

При $a=1$ уравнение принимает вид

$$ \sqrt{x^2+2x+1}=x+1, $$

то есть

$$|x+1|=x+1,$$

что верно при всех $x\ge -1$.

Ответ

а) $$a=-9,\quad x\in[3;+\infty).$$

б) $$a=1,\quad x\in[-1;+\infty).$$