Упр.15.7 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 15.7
а) При $$x \ne \pm 3$$ уравнение равносильно уравнению
$$a(x+3)+x(x-3)=17.$$
Получаем
$$x^2+(a-3)x+3a-17=0.$$
Дискриминант:
$$D=(a-3)^2-4(3a-17)=a^2-18a+77.$$
Чтобы уравнение имело корни, нужно
$$a^2-18a+77\ge 0.$$
Найдём нули квадратного трёхчлена:
$$a^2-18a+77=0,$$
$$D_a=18^2-4\cdot 77=324-308=16,$$
$$a_{1,2}=\frac{18\pm 4}{2}, \quad a_1=7,\ a_2=11.$$
Значит, при $$7<a<11$$ решений нет, а при $$a\le 7$$ или $$a\ge 11$$ есть корни
$$x_{1,2}=\frac{3-a\pm \sqrt{a^2-18a+77}}{2}.$$
Проверим, не совпадают ли они с запрещёнными значениями $$x=\pm 3$$.
Если $$x=3$$, то
$$\frac{3-a-\sqrt{a^2-18a+77}}{2}=3,$$
откуда
$$\sqrt{a^2-18a+77}=a+3.$$
После возведения в квадрат получаем
$$a^2-18a+77=a^2+6a+9,$$
$$-24a=-68,$$
$$a=\frac{17}{6}.$$
При этом действительно получается корень $$x=3$$, который нужно исключить.
Если $$x=-3$$, то
$$\frac{3-a+\sqrt{a^2-18a+77}}{2}=-3,$$
откуда
$$\sqrt{a^2-18a+77}=a-9.$$
После возведения в квадрат:
$$a^2-18a+77=a^2-18a+81,$$
что невозможно. Значит, таких значений параметра нет.
Итак, при
$$a\in(-\infty;\tfrac{17}{6})\cup(\tfrac{17}{6};7]\cup[11;+\infty)$$
уравнение имеет корни
$$x=\frac{3-a\pm \sqrt{a^2-18a+77}}{2},$$
причём при $$a=\frac{17}{6}$$ значение $$x=3$$ не подходит.
б) При $$x\ne \pm a$$ уравнение равносильно уравнению
$$x(x+a)+x-a+7=0.$$
Получаем
$$x^2+(a+1)x+7-a=0.$$
Дискриминант:
$$D=(a+1)^2-4(7-a)=a^2+6a-27.$$
Чтобы были корни, нужно
$$a^2+6a-27\ge 0.$$
Найдём нули:
$$a^2+6a-27=0,$$
$$D_a=6^2-4\cdot(-27)=36+108=144,$$
$$a_{1,2}=\frac{-6\pm 12}{2}, \quad a_1=-9,\ a_2=3.$$
Значит, при $$-9<a<3$$ решений нет, а при $$a\le -9$$ или $$a\ge 3$$ есть корни
$$x_{1,2}=\frac{-a-1\pm \sqrt{a^2+6a-27}}{2}.$$
Проверим запрещённые значения $$x=\pm a$$.
Если $$x=a$$, то
$$a=\frac{-a-1+\sqrt{a^2+6a-27}}{2},$$
откуда
$$\sqrt{a^2+6a-27}=3a+1.$$
После возведения в квадрат получаем противоречие, значит, решений нет.
Если $$x=-a$$, то
$$-a=\frac{-a-1+\sqrt{a^2+6a-27}}{2},$$
откуда
$$\sqrt{a^2+6a-27}=a-1.$$
Тогда
$$a^2+6a-27=a^2-2a+1,$$
$$8a=28,$$
$$a=\frac{7}{2}.$$
При этом $$x=-a=-\frac{7}{2}$$ действительно является запрещённым корнем, поэтому его нужно исключить.
Следовательно, при
$$a\in(-\infty;-9)\cup(3;\tfrac{7}{2})\cup(\tfrac{7}{2};+\infty)$$
уравнение имеет корни
$$x=\frac{-a-1\pm \sqrt{a^2+6a-27}}{2},$$
причём при $$a=\frac{7}{2}$$ значение $$x=-a$$ не подходит.
Ответ
а) $$a\in(-\infty;\tfrac{17}{6})\cup(\tfrac{17}{6};7]\cup[11;+\infty)$$, при этом при $$a=\tfrac{17}{6}$$ корень $$x=3$$ исключается; при $$7<a<11$$ решений нет.
б) $$a\in(-\infty;-9)\cup(3;\tfrac{7}{2})\cup(\tfrac{7}{2};+\infty)$$, при этом при $$a=\tfrac{7}{2}$$ корень $$x=-a$$ исключается; при $$-9<a<3$$ решений нет.
