Упр.15.5 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) |х-2|-а|х+1| = 3;
в) | х + 3| — а | x — 1| = 4;
г) |х + 2|-а|х-3| = 5.

Рассмотрим уравнение $$|x-1|-a|x+1|=2.$$ Разобьём числовую прямую точками $$x=-1$$ и $$x=1$$.

1) Если $$x\in(-\infty;-1],$$ то $$|x-1|=-(x-1),\ |x+1|=-(x+1).$$ Тогда

$$-(x-1)-a(-(x+1))=2,$$
$$-x+1+a(x+1)=2,$$
$$x(a-1)=1-a.$$

Если $$a=1,$$ то получаем тождество $$0=0,$$ значит, любое $$x\in(-\infty;-1]$$ подходит.

Если $$a\ne1,$$ то

$$x=\frac{1-a}{a-1}=-1.$$

Это значение принадлежит промежутку $$(-\infty;-1]$$ при любом $$a\ne1.$$

2) Если $$x\in[-1;1],$$ то $$|x-1|=-(x-1),\ |x+1|=x+1.$$ Тогда

$$-(x-1)-a(x+1)=2,$$
$$-x+1-ax-a=2,$$
$$-(a+1)x=1+a.$$

Если $$a=-1,$$ то получаем тождество $$0=0,$$ значит, любое $$x\in[-1;1]$$ подходит.

Если $$a\ne-1,$$ то

$$x=-1,$$

и это значение принадлежит промежутку $$[-1;1].$$

3) Если $$x\in[1;+\infty),$$ то $$|x-1|=x-1,\ |x+1|=x+1.$$ Тогда

$$x-1-a(x+1)=2,$$
$$x-1-ax-a=2,$$
$$(1-a)x=a+3.$$

Если $$a=1,$$ решений нет.

Если $$a\ne1,$$ то

$$x=\frac{a+3}{1-a}.$$

Чтобы это значение принадлежало промежутку $$[1;+\infty),$$ нужно

$$\frac{a+3}{1-a}\ge1,$$
$$\frac{a+3-(1-a)}{1-a}\ge0,$$
$$\frac{2a+2}{1-a}\ge0,$$
$$\frac{a+1}{1-a}\ge0.$$

Отсюда

$$-1\le a<1.$$

Но при $$a=-1$$ это решение совпадает с пунктом 2, а при $$-1<a<1$$ даёт ещё одно значение $$x=\frac{a+3}{1-a}.$$

Итак, получаем:

• при $$a\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$ — единственный корень $$x=-1$$;
• при $$a=-1$$ — все $$x\in[-1;1]$$;
• при $$-1<a<1$$ — два корня: $$x=-1$$ и $$x=\frac{a+3}{1-a}$$;
• при $$a=1$$ — все $$x\in(-\infty;-1]$$.

Ответ

а) $$x=-1$$ при $$a\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty),$$
$$x\in[-1;1]$$ при $$a=-1,$$
$$x=-1,\ \frac{a+3}{1-a}$$ при $$-1<a<1,$$
$$x\in(-\infty;-1]$$ при $$a=1.$$