Упр.15.45 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

имеет хотя бы одно решение?

а) На множестве $$x>0$$ система равносильна системе

$$ \begin{cases} y=x,\\ (x-2(a+2))^2+(x-a)^2=8. \end{cases} $$

Подставим $$y=x$$ во второе уравнение:

$$ (x-2(a+2))^2+(x-a)^2=8 $$

$$ 2x^2-2(3a+4)x+5a^2+16a+8=0. $$

Чтобы система имела хотя бы одно решение, это квадратное уравнение должно иметь корень, принадлежащий $$x>0$$.

1) Если $$D=0$$, то

$$ D=4(3a+4)^2-8(5a^2+16a+8)=-4a(a+8). $$

Отсюда

$$ -4a(a+8)=0 \quad \Rightarrow \quad a=0 \text{ или } a=-8. $$

При $$a=0$$ получаем

$$ x=\frac{2(3a+4)}{4}=2>0, $$

значит, решение есть.

При $$a=-8$$

$$ x=\frac{2(3(-8)+4)}{4}=-10<0, $$

поэтому решений нет.

2) Если $$D>0$$, то хотя бы один корень должен быть положительным. Для этого достаточно, чтобы оба корня не были отрицательными, то есть

$$ \begin{cases} D>0,\\ x_1x_2>0,\\ x_1+x_2>0. \end{cases} $$

Здесь

$$ D=-4a(a+8), \quad x_1x_2=\frac{5a^2+16a+8}{2}, \quad x_1+x_2=3a+4. $$

Тогда

$$ \begin{cases} -a(a+8)>0,\\ 5a^2+16a+8>0,\\ 3a+4>0. \end{cases} $$

Из первых двух неравенств и условия $$3a+4>0$$ получаем

$$ a\in(-8;0), \quad a>-\frac{4}{3}. $$

Следовательно,

$$ a\in\left(-\frac{4}{3};0\right). $$

С учётом случая $$a=0$$ получаем для пункта а):

$$ a\in\left(-\frac{4}{3};0\right]. $$

б) На множестве $$x>0$$ система равносильна системе

$$ \begin{cases} y=\sqrt{3}\,x,\\ \left(x-\dfrac{2a+1}{\sqrt{3}}\right)^2+(\sqrt{3}x-a)^2=4. \end{cases} $$

После раскрытия скобок получаем квадратное уравнение относительно $$x$$:

$$ 12x^2-2(5\sqrt{3}a+\sqrt{3})x+7a^2+4a-11=0. $$

Система имеет хотя бы одно решение, если это уравнение имеет положительный корень.

1) При $$D=0$$:

$$ D=\bigl(2\sqrt{3}(5a+1)\bigr)^2-48(7a^2+4a-11) =12(-3a^2-6a+45). $$

Отсюда

$$ 3a^2+6a-45=0, $$

$$ a^2+2a-15=0, $$

$$ a=-5 \text{ или } a=3. $$

При $$a=-5$$ корень $$x<0$$, а при $$a=3$$ корень $$x>0$$. Значит, подходит только $$a=3$$.

2) Если $$D>0$$, то положительный корень существует, когда

$$ \begin{cases} D>0,\\ x_1x_2>0,\\ x_1+x_2>0. \end{cases} $$

Это даёт

$$ \begin{cases} a\in(-\infty;-5)\cup(3;+\infty),\\ 7a^2+4a-11>0,\\ 5\sqrt{3}a+\sqrt{3}>0. \end{cases} $$

Из последнего неравенства

$$ a>-\frac{1}{5}. $$

Совместно получаем

$$ a>3. $$

Итак, для пункта б) система имеет хотя бы одно решение при

$$ a\in[3;+\infty). $$

Ответ

а) $$a\in\left(-\frac{4}{3};0\right]$$; б) $$a\in[3;+\infty)$$.