Упр.15.45 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- При каких значениях параметра $$a$$ система уравнений имеет хотя бы одно решение?
а) На множестве $$x>0$$ система равносильна системе
$$\begin{cases} y=x,\\ (x-2(a+2))^2+(x-a)^2=8. \end{cases}$$
Подставим $$y=x$$ во второе уравнение:
$$(x-2(a+2))^2+(x-a)^2=8$$
$$2x^2-2(3a+4)x+5a^2+16a+8=0.$$
Чтобы система имела хотя бы одно решение, это квадратное уравнение должно иметь корень, принадлежащий $$x>0$$.
1) Если $$D=0$$, то
$$D=4(3a+4)^2-8(5a^2+16a+8)=-4a(a+8).$$
Отсюда
$$-4a(a+8)=0 \quad \Rightarrow \quad a=0 \text{ или } a=-8.$$
При $$a=0$$ получаем
$$x=\frac{2(3a+4)}{4}=2>0,$$
значит, решение есть.
При $$a=-8$$
$$x=\frac{2(3(-8)+4)}{4}=-10<0,$$
поэтому решений нет.
2) Если $$D>0$$, то хотя бы один корень должен быть положительным. Для этого достаточно, чтобы оба корня не были отрицательными, то есть
$$\begin{cases} D>0,\\ x_1x_2>0,\\ x_1+x_2>0. \end{cases}$$
Здесь
$$D=-4a(a+8), \quad x_1x_2=\frac{5a^2+16a+8}{2}, \quad x_1+x_2=3a+4.$$
Тогда
$$\begin{cases} -a(a+8)>0,\\ 5a^2+16a+8>0,\\ 3a+4>0. \end{cases}$$
Из первых двух неравенств и условия $$3a+4>0$$ получаем
$$a\in(-8;0), \quad a>-\frac{4}{3}.$$
Следовательно,
$$a\in\left(-\frac{4}{3};0\right).$$
С учётом случая $$a=0$$ получаем для пункта а):
$$a\in\left(-\frac{4}{3};0\right].$$
б) На множестве $$x>0$$ система равносильна системе
$$\begin{cases} y=\sqrt{3}\,x,\\ \left(x-\dfrac{2a+1}{\sqrt{3}}\right)^2+(\sqrt{3}x-a)^2=4. \end{cases}$$
После раскрытия скобок получаем квадратное уравнение относительно $$x$$:
$$12x^2-2(5\sqrt{3}a+\sqrt{3})x+7a^2+4a-11=0.$$
Система имеет хотя бы одно решение, если это уравнение имеет положительный корень.
1) При $$D=0$$:
$$D=\bigl(2\sqrt{3}(5a+1)\bigr)^2-48(7a^2+4a-11) =12(-3a^2-6a+45).$$
Отсюда
$$3a^2+6a-45=0,$$
$$a^2+2a-15=0,$$
$$a=-5 \text{ или } a=3.$$
При $$a=-5$$ корень $$x<0$$, а при $$a=3$$ корень $$x>0$$. Значит, подходит только $$a=3$$.
2) Если $$D>0$$, то положительный корень существует, когда
$$\begin{cases} D>0,\\ x_1x_2>0,\\ x_1+x_2>0. \end{cases}$$
Это даёт
$$\begin{cases} a\in(-\infty;-5)\cup(3;+\infty),\\ 7a^2+4a-11>0,\\ 5\sqrt{3}a+\sqrt{3}>0. \end{cases}$$
Из последнего неравенства
$$a>-\frac{1}{5}.$$
Совместно получаем
$$a>3.$$
Итак, для пункта б) система имеет хотя бы одно решение при
$$a\in[3;+\infty).$$
Ответ
а) $$a\in\left(-\frac{4}{3};0\right]$$; б) $$a\in[3;+\infty)$$.
