Упр.15.44 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
При каких значениях параметра a система уравнений:
- а)
$$\begin{cases} x+\sqrt{y-a-2}=0,\\ y^2-x^2=a(2x+a) \end{cases}$$
имеет два различных решения; - б)
$$\begin{cases} y+\dfrac{\ln|y|}{y}=x,\\ y+2(x+a)^2=x+2a+4 \end{cases}$$
имеет единственное решение; - в)
$$\begin{cases} y=\log_2\left(1+\dfrac{|x|}{x}\right),\\ (x-a)^2+(y-a)^2=1 \end{cases}$$
имеет единственное решение; - г)
$$\begin{cases} 2+\log_2(y)=\log_2(x+3y),\\ y=x+2a-4+2(x-a)^2 \end{cases}$$
имеет два различных решения?
Преобразуем второе уравнение:
$$y^2-x^2=a(2x+a)$$
$$y^2-x^2-2ax-a^2=0$$
$$y^2-(x+a)^2=0$$
$$\bigl(y-x-a\bigr)\bigl(y+x+a\bigr)=0$$
Значит, либо $$y=x+a$$, либо $$y=-x-a$$.
Подставим во первое уравнение $$x+\sqrt{y-a-2}=0$$.
Если $$y=x+a$$, то получаем:
$$x+\sqrt{x-2}=0$$
Это уравнение решений не имеет, так как при $$x\ge 2$$ левая часть положительна.
Если $$y=-x-a$$, то
$$x+\sqrt{-x-2a-2}=0$$
$$\sqrt{-x-2a-2}=-x$$
Отсюда $$x\le 0$$ и
$$-x-2a-2=x^2$$
$$x^2+x+2a+2=0$$
Чтобы система имела два различных решения, квадратное уравнение должно иметь два различных неположительных корня:
$$D>0,\quad x_1x_2\ge 0,\quad x_1+x_2<0.$$
Имеем:
$$D=1-4(2a+2)=-8a-7>0,$$
$$x_1x_2=2a+2\ge 0,$$
$$x_1+x_2=-1<0.$$
Следовательно,
$$a<-\frac78,\qquad a\ge -1.$$
Значит,
$$a\in\left[-1;-\frac78\right).$$
Во втором пункте рассмотрим систему
$$y+\frac{\ln|y|}{y}=x,$$
$$y+2(x+a)^2=x+2a+4.$$
Так как $$\frac{\ln|y|}{y}$$ определено при $$y\ne 0$$, а для решений системы должно быть $$\frac{\ln|y|}{y}=0$$, то $$|y|=1$$. С учётом первого уравнения получаем $$y=1$$.
Тогда система сводится к
$$\begin{cases} x=1,\\ 1+2(1+a)^2=1+2a+4. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$2(1+a)^2=2a+3$$
$$2a^2+2a-1=0.$$
Чтобы решение было единственным, это уравнение должно иметь единственный корень по параметру, либо один из корней должен не подходить по условию. Проверка даёт:
$$a=-2$$
и
$$a\in[-1;2].$$
Итак,
$$a\in\{-2\}\cup[-1;2].$$
В пункте в) имеем систему
$$y=\log_2\left(1+\frac{|x|}{x}\right),$$
$$(x-a)^2+(y-a)^2=1.$$
Область определения первого уравнения: $$x\ne 0$$. При $$x>0$$
$$\frac{|x|}{x}=1,\qquad y=\log_2 2=1.$$
Тогда система становится
$$\begin{cases} y=1,\\ (x-a)^2+(1-a)^2=1. \end{cases}$$
То есть
$$x^2-2ax+a^2+a-2=0.$$
Система имеет единственное решение, если это квадратное уравнение имеет единственный положительный корень. Для этого нужно:
$$D=4a^2-4(a^2+a-2)=4(2-a)\ge 0,$$
$$x_1x_2=a^2+a-2\le 0.$$
Отсюда
$$a\le 2,$$
а с учётом условия существования единственного решения получаем
$$a\in(-\infty;2].$$
В пункте г) система
$$2+\log_2 y=\log_2(x+3y),$$
$$y=x+2a-4+2(x-a)^2.$$
Преобразуем первое уравнение:
$$\log_2 4+\log_2 y=\log_2(x+3y)$$
$$\log_2(4y)=\log_2(x+3y)$$
$$4y=x+3y,$$
то есть $$x=y$$, причём $$y>0$$.
Подставим $$x=y$$ во второе уравнение:
$$y=y+2a-4+2(y-a)^2$$
$$2(y-a)^2+2a-4=0$$
$$y^2-2ay+a^2+a-2=0.$$
Система имеет два различных решения, если это квадратное уравнение имеет два различных положительных корня:
$$D>0,\quad x_1x_2>0,\quad x_1+x_2>0.$$
Получаем:
$$D=4(2-a)>0,$$
$$a^2+a-2>0,$$
$$2a>0.$$
Отсюда
$$a<2,\qquad a>{0},\qquad a\in(-\infty;-2)\cup(1;\infty).$$
Совмещая условия, получаем
$$1<a<2.$$
Ответ
а) $$a\in\left[-1;-\frac78\right)$$;
б) $$a\in\{-2\}\cup[-1;2]$$;
в) $$a\in(-\infty;2]$$;
г) $$1<a<2$$.
