Упр.15.43 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых множество решений неравенства $$2x^2-3x+a+12\le 0$$ не пусто и содержится среди решений неравенства $$x^2+10x+a\le 0$$.

Рассмотрим неравенства

$$2x^2-3x+a+12\le 0,$$

$$x^2+10x+a\le 0.$$

Чтобы множество решений первого неравенства было непустым, его дискриминант должен быть неотрицательным:

$$D_1=(-3)^2-4\cdot 2\cdot (a+12)=9-8a-96=-8a-87\ge 0,$$

откуда

$$a\le -\frac{87}{8}.$$

Тогда решения первого неравенства образуют отрезок

$$x\in \left[\frac{3-\sqrt{-8a-87}}{4},\ \frac{3+\sqrt{-8a-87}}{4}\right].$$

Для второго неравенства при тех же значениях параметра имеем

$$D_2=10^2-4a=100-4a>0,$$

и его решения:

$$x\in \left[-5-\sqrt{25-a},\ -5+\sqrt{25-a}\right].$$

Чтобы множество решений первого неравенства содержалось среди решений второго, нужно выполнение включения отрезков:

$$-5-\sqrt{25-a}\le \frac{3-\sqrt{-8a-87}}{4},$$

$$\frac{3+\sqrt{-8a-87}}{4}\le -5+\sqrt{25-a},$$

$$a\le -\frac{87}{8}.$$

Решая эту систему, получаем

$$a\in (-\infty,-264]\cup \left[-11,-\frac{87}{8}\right].$$

Ответ

$$a\in (-\infty,-264]\cup \left[-11,-\frac{87}{8}\right].$$