Упр.15.42 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых неравенство $$x+\frac{7a^2-a-2}{x-2}<-7a$$ не имеет решений $$x$$, больших $$1$$.

Подробный ответ

Перепишем неравенство в виде

$$x+\frac{7a^2-a-2}{x-2}<-7a$$

$$\frac{x^2+(7a-2)x+7a^2-15a-2}{x-2}<0.$$

Нужно, чтобы у этого неравенства не было решений при $$x>1$$.

Если решение попадает в область $$x>2$$, то оно автоматически удовлетворяет условию $$x>1$$, значит такие значения параметра не подходят. Поэтому рассмотрим только $$x<2$$.

На промежутке $$(-\infty;2)$$ имеем $$x-2<0$$, значит неравенство равносильно

$$x^2+(7a-2)x+7a^2-15a-2>0.$$

Обозначим

$$f(x)=x^2+(7a-2)x+7a^2-15a-2.$$

Чтобы на $$(-\infty;2)$$ не было решений, достаточно, чтобы парабола не пересекала ось $$x$$ или чтобы её корни лежали по разные стороны от точки $$2$$ так, что на $$x>1$$ решений не возникало.

Найдём дискриминант:

$$D=(7a-2)^2-4(7a^2-15a-2)=21a^2+60a-16=21\left(a+\frac67\right)\left(a-\frac{4}{21}\right).$$

Если

$$-\frac67\le a\le \frac{4}{21},$$

то $$D\le 0$$, и тогда $$f(x)\ge 0$$ при всех $$x$$, следовательно, решений исходного неравенства нет.

Если $$D>0$$, то для отсутствия решений при $$x>1$$ нужно, чтобы оба корня квадратичной функции не превосходили $$1$$ или не давали решений на $$x>1$$. Это равносильно условиям

$$f(1)\le 0,\qquad f(2)\le 0.$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} 1+(7a-2)+7a^2-15a-2\le 0,\\ 4+2(7a-2)+7a^2-15a-2\le 0. \end{cases}$$

То есть

$$\begin{cases} 7a^2-8a-3\le 0,\\ 7a^2-a-2\le 0. \end{cases}$$

Решая неравенства, получаем

$$a\in\left[\frac{4-\sqrt{37}}{7};\frac{4+\sqrt{37}}{7}\right], \qquad a\in\left[\frac{1-\sqrt{57}}{14};\frac{1+\sqrt{57}}{14}\right].$$

Пересечение этих промежутков даёт

$$a\in\left[\frac{4-\sqrt{37}}{7};\frac{1+\sqrt{57}}{14}\right].$$

Именно при этих значениях параметра исходное неравенство не имеет решений, больших $$1$$.