Упр.15.42 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 15.42 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство x + (7a2-a-2)/(x-2) < -7a не имеет решений x, больших 1.

Подробный ответ

Перепишем неравенство в виде

$$ x+\frac{7a^2-a-2}{x-2}<-7a $$

$$ \frac{x^2+(7a-2)x+7a^2-15a-2}{x-2}<0. $$

Нужно, чтобы у этого неравенства не было решений при $x>1$.

Если решение попадает в область $x>2$, то оно автоматически удовлетворяет условию $x>1$, значит такие значения параметра не подходят. Поэтому рассмотрим только $x<2$.

На промежутке $(-\infty;2)$ имеем $x-2<0$, значит неравенство равносильно

$$ x^2+(7a-2)x+7a^2-15a-2>0. $$

Обозначим

$$ f(x)=x^2+(7a-2)x+7a^2-15a-2. $$

Чтобы на $(-\infty;2)$ не было решений, достаточно, чтобы парабола не пересекала ось $x$ или чтобы её корни лежали по разные стороны от точки $2$ так, что на $x>1$ решений не возникало.

Найдём дискриминант:

$$ D=(7a-2)^2-4(7a^2-15a-2)=21a^2+60a-16=21\left(a+\frac67\right)\left(a-\frac{4}{21}\right). $$

Если

$$ -\frac67\le a\le \frac{4}{21}, $$

то $D\le 0$, и тогда $f(x)\ge 0$ при всех $x$, следовательно, решений исходного неравенства нет.

Если $D>0$, то для отсутствия решений при $x>1$ нужно, чтобы оба корня квадратичной функции не превосходили $1$ или не давали решений на $x>1$. Это равносильно условиям

$$ f(1)\le 0,\qquad f(2)\le 0. $$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} 1+(7a-2)+7a^2-15a-2\le 0,\\ 4+2(7a-2)+7a^2-15a-2\le 0. \end{cases} $$

То есть

$$ \begin{cases} 7a^2-8a-3\le 0,\\ 7a^2-a-2\le 0. \end{cases} $$

Решая неравенства, получаем

$$ a\in\left[\frac{4-\sqrt{37}}{7};\frac{4+\sqrt{37}}{7}\right], \qquad a\in\left[\frac{1-\sqrt{57}}{14};\frac{1+\sqrt{57}}{14}\right]. $$

Пересечение этих промежутков даёт

$$ a\in\left[\frac{4-\sqrt{37}}{7};\frac{1+\sqrt{57}}{14}\right]. $$

Именно при этих значениях параметра исходное неравенство не имеет решений, больших $1$.