Упр.15.41 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 15.41 Найдите все значения параметра р, при каждом из которых множество всех решений неравенства (р — x)2(р + x — 2) < 0 не содержит ни одного решения неравенства x2 < = 1. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 15-41 118
Рассмотрим неравенство
$$ (p-x)^2(p+x-2)<0. $$
Так как $$ (p-x)^2\ge 0 $$ при любых $$x$$ и обращается в нуль только при $$x=p$$, то для выполнения строгого неравенства нужно, чтобы
$$ (p-x)^2>0 \quad \text{и} \quad p+x-2<0. $$
Значит, множество решений неравенства задаётся условиями
$$ x<2-p,\qquad x\ne p. $$
Нужно, чтобы это множество не содержало ни одного решения неравенства
$$ x^2\le 1, $$
то есть ни одного числа из отрезка $$[-1;1]$$.
Следовательно, множество решений неравенства $$x<2-p,\ x\ne p$$ не должно пересекаться с отрезком $$[-1;1]$$.
Это возможно в двух случаях:
- $$2-p\le -1,$$ то есть $$p\ge 3.$$
- $$2-p>1,$$ то есть $$p<1,$$ и при этом точка $$x=p$$ не должна попадать в отрезок $$[-1;1]$$. Значит, $$p\le -1.$$
Объединяя случаи, получаем
$$p\le -1 \quad \text{или} \quad p\ge 3.$$
Ответ
$$(-\infty;-1]\cup[3;+\infty).$$
