Упр.15.40 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) а2 + а — sin2x — 2аcosx > 1;
б) 13 sin2x + 2а sinx cosx + cos2x + а | < = 3 выполняется для любого значения x.

а) Обозначим $$t=\cos x,$$ тогда $$-1\le t\le 1.$$

Имеем

$$a^2+a-\sin^2 x-2a\cos x>1$$

$$a^2+a-(1-t^2)-2at>1$$

$$t^2-2at+a^2+a-2>0.$$

Нужно, чтобы это неравенство выполнялось при всех $$t\in[-1;1].$$ Рассмотрим квадратный трёхчлен

$$f(t)=t^2-2at+a^2+a-2.$$

Если $$D<0,$$ то $$f(t)>0$$ при всех $$t$$. Тогда

$$D=4a^2-4(a^2+a-2)=8-4a<0,$$

откуда $$a>2.$$

Если $$D\ge 0,$$ то вершина параболы должна лежать вне отрезка $$[-1;1]$$, а значения на концах отрезка должны быть положительными.

1) При $$t_0=\dfrac{2a}{2}=a>1$$ получаем систему

$$ \begin{cases} a<2,\\ f(1)=1-2a+a^2+a-2>0. \end{cases} $$

То есть

$$ \begin{cases} a<2,\\ a^2-a-1>0. \end{cases} $$

Отсюда

$$a<\dfrac{1-\sqrt5}{2}\quad \text{или}\quad a>\dfrac{1+\sqrt5}{2}.$$

С учётом $$a>1$$ получаем

$$a\in\left(\dfrac{1+\sqrt5}{2};\,2\right).$$

2) При $$t_0=a<-1$$ получаем систему

$$ \begin{cases} a<2,\\ f(-1)=1+2a+a^2+a-2>0. \end{cases} $$

То есть

$$ \begin{cases} a<2,\\ a^2+3a-1>0. \end{cases} $$

Отсюда

$$a<\dfrac{-3-\sqrt{13}}{2}\quad \text{или}\quad a>\dfrac{-3+\sqrt{13}}{2}.$$

С учётом $$a<-1$$ получаем

$$a<\dfrac{-3-\sqrt{13}}{2}.$$

Объединяя все случаи, имеем

$$a<\dfrac{-3-\sqrt{13}}{2}\quad \text{или}\quad a>\dfrac{1+\sqrt5}{2}.$$

б) Используем формулы

$$\sin^2 x=\dfrac{1-\cos 2x}{2},\qquad \cos^2 x=\dfrac{1+\cos 2x}{2},\qquad \sin 2x=2\sin x\cos x.$$

Тогда

$$ \left|3\sin^2 x+2a\sin x\cos x+\cos^2 x+a\right|\le 3 $$

равносильно

$$ \left|\frac{3(1-\cos 2x)}{2}+a\sin 2x+\frac{1+\cos 2x}{2}+a\right|\le 3, $$

то есть

$$|a\sin 2x-\cos 2x+a+2|\le 3.$$

Представим выражение $$a\sin 2x-\cos 2x$$ в виде одной синусоиды:

$$a\sin 2x-\cos 2x=\sqrt{a^2+1}\,\sin(2x-\varphi),$$

где $$\cos\varphi=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}},\quad \sin\varphi=\dfrac{1}{\sqrt{a^2+1}}.$$

Тогда

$$\left|\sqrt{a^2+1}\,\sin(2x-\varphi)+a+2\right|\le 3.$$

Так как $$\sin(2x-\varphi)\in[-1;1],$$ то выражение внутри модуля принимает все значения от

$$-\,\sqrt{a^2+1}+a+2$$

до

$$\sqrt{a^2+1}+a+2.$$

Чтобы модуль не превосходил $$3$$ при любом $$x,$$ нужно и достаточно, чтобы

$$ \begin{cases} -\sqrt{a^2+1}+a+2\ge -3,\\ \sqrt{a^2+1}+a+2\le 3. \end{cases} $$

Отсюда

$$ \begin{cases} \sqrt{a^2+1}\le a+5,\\ \sqrt{a^2+1}\le 1-a. \end{cases} $$

Возводим в квадрат:

$$ \begin{cases} a\ge -5,\\ a^2+1\le a^2+10a+25,\\ a\le 1,\\ a^2+1\le a^2-2a+1. \end{cases} $$

Получаем

$$ \begin{cases} a\ge -5,\\ a\ge -\dfrac{12}{5},\\ a\le 1,\\ a\le 0. \end{cases} $$

Следовательно,

$$-\dfrac{12}{5}\le a\le 0.$$

Ответ

а) $$a<\dfrac{-3-\sqrt{13}}{2}$$ или $$a>\dfrac{1+\sqrt5}{2}$$;

б) $$-\dfrac{12}{5}\le a\le 0.$$