Упр.15.39 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 15.39 При каких значениях параметра а неравенство:

Рассмотрим дробь

$$\frac{2a^2-4a-3}{a^2-2a-8}$$

Чтобы неравенство выполнялось для всех $x$, правая часть должна быть отрицательной:

$$\frac{2a^2-4a-3}{a^2-2a-8}<0.$$

Это равносильно тому, что числитель и знаменатель разных знаков:

$$ \begin{cases} 2a^2-4a-3<0,\\ a^2-2a-8>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 2a^2-4a-3>0,\\ a^2-2a-8<0 \end{cases} $$

Найдём корни квадратных трёхчленов:

$$2a^2-4a-3=0 \;\Rightarrow\; a=\frac{4\pm\sqrt{16+24}}{4}=\frac{4\pm\sqrt{40}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{10}}{2},$$

$$a^2-2a-8=0 \;\Rightarrow\; (a-4)(a+2)=0 \;\Rightarrow\; a=-2,\; a=4.$$

Тогда:

$$2a^2-4a-3<0 \iff \frac{2-\sqrt{10}}{2}<a<\frac{2+\sqrt{10}}{2},$$

$$a^2-2a-8>0 \iff a<-2 \;\text{или}\; a>4,$$

$$2a^2-4a-3>0 \iff a<\frac{2-\sqrt{10}}{2} \;\text{или}\; a>\frac{2+\sqrt{10}}{2},$$

$$a^2-2a-8<0 \iff -2<a<4.$$

Пересекаем множества решений:

$$ \left(\frac{2-\sqrt{10}}{2},\frac{2+\sqrt{10}}{2}\right)\cap\bigl((-\infty,-2)\cup(4,\infty)\bigr)=\varnothing, $$

$$ \left((-\infty,\frac{2-\sqrt{10}}{2})\cup(\frac{2+\sqrt{10}}{2},\infty)\right)\cap(-2,4)=(-2,4). $$

Следовательно, искомые значения параметра:

$$-2<a<4.$$

Ответ

$$-2<a<4$$