Упр.15.38 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

При каких значениях параметра $$a$$: а) все $$x>3$$ являются решениями неравенства $$(a-2)x^2-2x-a>0$$; б) все $$x>1{,}5$$ являются решениями неравенства

а) Рассмотрим неравенство $$(a-2)x^2-2x-a>0.$$

Если $$a=2,$$ то получаем

$$-2x-2>0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; x<-1,$$

поэтому все $$x>3$$ не подходят.

Если $$a>2,$$ то коэффициент при $$x^2$$ положителен. Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=(-2)^2-4(a-2)(-a)=4+4a(a-2)=4(a-1)^2,$$

$$x_{1,2}=\frac{2\pm 2(a-1)}{2(a-2)}.$$
Отсюда

$$x_1=-1,\qquad x_2=\frac{a}{a-2}.$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$(a-2)x^2-2x-a>0 \iff x<-1 \;\; \text{или} \;\; x>\frac{a}{a-2}.$$

Чтобы все $$x>3$$ были решениями, нужно, чтобы правая граница не превосходила 3:

$$\frac{a}{a-2}\le 3.$$

При $$a>2$$ это равносильно

$$a\le 3.$$

Если $$a<2,$$ то парабола направлена вниз, и множество решений имеет вид промежутка между корнями, поэтому все $$x>3$$ не могут быть решениями.

Следовательно, для пункта а)

$$a\in[2;3].$$

б) Рассмотрим неравенство

$$(a-2)x^2-2x-a>0.$$

Если $$a=2,$$ то

$$-2x-2>0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; x<-1,$$

и не все $$x>1{,}5$$ являются решениями.

Если $$a>2,$$ то, как и выше, корни равны

$$x_1=-1,\qquad x_2=\frac{a}{a-2},$$

а решение неравенства:

$$x<-1 \;\; \text{или} \;\; x>\frac{a}{a-2}.$$

Чтобы все $$x>1{,}5$$ были решениями, достаточно и необходимо, чтобы

$$\frac{a}{a-2}\le 1{,}5=\frac32.$$

При $$a>2$$ получаем

$$2a\le 3(a-2),$$

$$2a\le 3a-6,$$

$$a\ge 6.$$

Если $$a<2,$$ то решения имеют вид промежутка между корнями, и все $$x>1{,}5$$ в него не попадут.

Значит, для пункта б)

$$a\in[6;+\infty).$$

Ответ

а) $$a\in[2;3]$$; б) $$a\in[6;+\infty).$$