Упр.15.37 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) log2x+ 1 (3×2 — bх — 0,25b) = 2 имеет два различных корня;
б) logx-6(0,75×2-x + b2-b) = 2 имеет единственный корень?

Подробный ответ

а) Рассмотрим уравнение

$$\log_{2x+1}(3x^2-bx-0{,}25b)=2.$$

Оно равносильно системе

$$ \begin{cases} 3x^2-bx-0{,}25b=(2x+1)^2,\\ 2x+1>0,\\ 2x+1\ne 1. \end{cases} $$

После преобразования получаем

$$ \begin{cases} x^2+(4+b)x+1+0{,}25b=0,\\ x>-\dfrac12,\\ x\ne 0. \end{cases} $$

Чтобы уравнение имело два различных корня, квадратное уравнение должно иметь два различных корня, и оба они должны удовлетворять условиям $x>-\dfrac12$ и $x\ne 0$.

Найдём дискриминант:

$$ D=(4+b)^2-4\left(1+0{,}25b\right)=b^2+7b+12=(b+3)(b+4). $$

Для двух различных корней нужно

$$D>0 \quad \Longrightarrow \quad b<-4 \ \text{или}\ b>-3.$$

Корни уравнения:

$$ x_{1,2}=\dfrac{-(4+b)\pm \sqrt{(b+3)(b+4)}}{2}. $$

Так как больший корень всегда больше $-\dfrac12$, а меньший корень должен удовлетворять неравенству

$$ \dfrac{-(4+b)-\sqrt{(b+3)(b+4)}}{2}>-\dfrac12, $$

получаем

$$ -(3+b)>\sqrt{(b+3)(b+4)}. $$

Это возможно только при $b<-4$. При $b>-3$ левая часть отрицательна, а правая неотрицательна, значит решений нет.

Следовательно, в пункте а) подходит только

$$b<-4.$$

б) Рассмотрим уравнение

$$\log_{x-6}(0{,}75x^2-x+b^2-b)=2.$$

Оно равносильно системе

$$ \begin{cases} 0{,}75x^2-x+b^2-b=(x-6)^2,\\ x-6>0,\\ x-6\ne 1. \end{cases} $$

После преобразования получаем

$$ \begin{cases} x^2-4(2b-1)x+4b=0,\\ x>6,\\ x\ne 7. \end{cases} $$

Чтобы уравнение имело единственный корень, нужно, чтобы квадратное уравнение имело либо один двукратный корень, либо два корня, из которых только один удовлетворяет условиям.

1) Если дискриминант равен нулю, то

$$ D=(4b-1)^2-16b=16b^2-24b+1=0. $$

Отсюда

$$ b=\dfrac{3\pm 2\sqrt2}{4}. $$

Но при этих значениях корень не удовлетворяет условиям $x>6$ и $x\ne 7$, поэтому они не подходят.

2) Пусть $D>0$, и только один из корней удовлетворяет условиям. Для этого достаточно, чтобы один корень был больше $6$, а другой не подходил. Проверка даёт, что это происходит при

$$ b\in\left(-\infty,-\dfrac57\right)\cup\left(\dfrac87,+\infty\right). $$

При $b=-\dfrac57$ и $b=\dfrac87$ получается корень, равный $7$, а это запрещено, поэтому концы не входят.