Упр.15.36 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) 4х — (5а — 3)2x + 4а2 — За = 0 имеет единственный корень;
б) 9х — 2 (3а — 2) 3х + 5а2 — 4а = 0 имеет два различных корня?

а) Пусть $$t=2^x,$$ тогда $$t>0.$$ Получаем квадратное уравнение

$$t^2-(5a-3)t+4a^2-3a=0.$$

Чтобы уравнение относительно $$x$$ имело единственный корень, возможны два случая:

1) квадратное уравнение по $$t$$ имеет двойной корень, то есть

$$D=0.$$

Тогда

$$D=(5a-3)^2-4(4a^2-3a)=25a^2-30a+9-16a^2+12a=9a^2-18a+9=9(a-2)^2.$$

Отсюда

$$a=2.$$

При $$a=2$$ корень по $$t$$ равен

$$t=\frac{5a-3}{2}=\frac{7}{2}>0,$$

значит, получается единственный корень $$x$$.

2) уравнение по $$t$$ имеет два различных корня, но только один из них положителен. Для этого нужно

$$D>0,$$

и произведение корней

$$4a^2-3a<0.$$

Из $$D>0$$ получаем $$a\ne 2.$$

Неравенство

$$4a^2-3a<0$$

равносильно

$$a(4a-3)<0,$$

откуда

$$a\in\left(0;\frac34\right).$$

Итак, в пункте а) получаем

$$a=2 \quad \text{или} \quad a\in\left(0;\frac34\right).$$

б) Пусть $$t=3^x,$$ тогда $$t>0.$$ Имеем

$$t^2-2(3a-2)t+5a^2-4a=0.$$

Чтобы уравнение имело два различных корня по $$x$$, квадратное уравнение по $$t$$ должно иметь два различных положительных корня. Значит, нужно:

$$D>0,$$

$$x_1+x_2>0,$$

$$x_1x_2>0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D=[-2(3a-2)]^2-4(5a^2-4a)=4(3a-2)^2-20a^2+16a=16(a-1)^2.$$

Тогда

$$D>0 \iff a\ne 1.$$

По теореме Виета:

$$x_1+x_2=2(3a-2),$$

$$x_1x_2=5a^2-4a=a(5a-4).$$

Следовательно, нужно решить систему

$$ \begin{cases} 3a-2>0,\\ a(5a-4)>0,\\ a\ne 1. \end{cases} $$

Из первых двух неравенств получаем

$$a>\frac23,$$

$$a<0 \ \text{или}\ a>\frac45.$$

Совмещая, имеем

$$a>\frac45.$$

С учётом условия $$a\ne 1$$ получаем

$$a\in\left(\frac45;1\right)\cup(1;+\infty).$$

Ответ

а) $$a=2$$ или $$a\in\left(0;\frac34\right);$$ б) $$a\in\left(\frac45;1\right)\cup(1;+\infty).$$