Упр.15.35 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- При каких значениях параметра $$a$$ уравнение:
а) $$\sqrt{x+1}=x+a$$;
б) $$\sqrt{x+a}=x+3$$
имеет единственный корень?
а) Рассмотрим уравнение $$\sqrt{x+1}=x+a.$$
Оно равносильно системе
$$\begin{cases} x+1=(x+a)^2,\\ x+a\ge 0. \end{cases}$$
Получаем квадратное уравнение
$$x^2+(2a-1)x+a^2-1=0,\qquad x\ge -a.$$
Чтобы уравнение имело единственный корень, возможны два случая.
1) $$D=0.$$ Тогда
$$D=(2a-1)^2-4(a^2-1)=5-4a.$$
Следовательно,
$$5-4a=0,\qquad a=\frac54.$$
При этом корень
$$x=-\frac{2a-1}{2}=-\frac34$$
удовлетворяет условию $$x\ge -a$$, так как $$-\frac34\ge -\frac54.$$
2) $$D>0,$$ но только один из корней удовлетворяет условию $$x\ge -a.$$
Для этого достаточно, чтобы значение квадратного трёхчлена в точке $$x=-a$$ было отрицательным:
$$f(x)=x^2+(2a-1)x+a^2-1,\qquad f(-a)=a-1.$$
Тогда
$$a-1<0,\qquad a<1.$$
Итак, для пункта а) получаем
$$a<1 \quad \text{или} \quad a=\frac54.$$
б) Рассмотрим уравнение $$\sqrt{x+a}=x+3.$$
Оно равносильно системе
$$\begin{cases} x+a=(x+3)^2,\\ x+3\ge 0. \end{cases}$$
То есть
$$x^2+5x+9-a=0,\qquad x\ge -3.$$
Уравнение имеет единственный корень, если:
1) $$D=0.$$ Тогда
$$D=25-4(9-a)=4a-11.$$
Следовательно,
$$4a-11=0,\qquad a=\frac{11}{4}.$$
2) $$D>0,$$ но только один корень удовлетворяет условию $$x\ge -3.$$
Для этого нужно, чтобы
$$f(-3)<0,\qquad f(x)=x^2+5x+9-a.$$
Тогда
$$9-15+9-a<0,\qquad 3-a<0,\qquad a>3.$$
Следовательно, для пункта б)
$$a=\frac{11}{4} \quad \text{или} \quad a>3.$$
Ответ
а) $$a<1$$ или $$a=\frac54$$; б) $$a=\frac{11}{4}$$ или $$a>3$$.
