Упр.15.35 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) корень (х + 1) = x + а;
б) корень (x + а) = x + 3 имеет единственный корень?

а) Рассмотрим уравнение $$\sqrt{x+1}=x+a.$$

Оно равносильно системе

$$ \begin{cases} x+1=(x+a)^2,\\ x+a\ge 0. \end{cases} $$

Получаем квадратное уравнение

$$ x^2+(2a-1)x+a^2-1=0,\qquad x\ge -a. $$

Чтобы уравнение имело единственный корень, возможны два случая.

1) $$D=0.$$ Тогда

$$ D=(2a-1)^2-4(a^2-1)=5-4a. $$

Следовательно,

$$ 5-4a=0,\qquad a=\frac54. $$

При этом корень

$$ x=-\frac{2a-1}{2}=-\frac34 $$

удовлетворяет условию $$x\ge -a$$, так как $$-\frac34\ge -\frac54.$$

2) $$D>0,$$ но только один из корней удовлетворяет условию $$x\ge -a.$$

Для этого достаточно, чтобы значение квадратного трёхчлена в точке $$x=-a$$ было отрицательным:

$$ f(x)=x^2+(2a-1)x+a^2-1,\qquad f(-a)=a-1. $$

Тогда

$$ a-1<0,\qquad a<1. $$

Итак, для пункта а) получаем

$$ a<1 \quad \text{или} \quad a=\frac54. $$

б) Рассмотрим уравнение $$\sqrt{x+a}=x+3.$$

Оно равносильно системе

$$ \begin{cases} x+a=(x+3)^2,\\ x+3\ge 0. \end{cases} $$

То есть

$$ x^2+5x+9-a=0,\qquad x\ge -3. $$

Уравнение имеет единственный корень, если:

1) $$D=0.$$ Тогда

$$ D=25-4(9-a)=4a-11. $$

Следовательно,

$$ 4a-11=0,\qquad a=\frac{11}{4}. $$

2) $$D>0,$$ но только один корень удовлетворяет условию $$x\ge -3.$$

Для этого нужно, чтобы

$$ f(-3)<0,\qquad f(x)=x^2+5x+9-a. $$

Тогда

$$ 9-15+9-a<0,\qquad 3-a<0,\qquad a>3. $$

Следовательно, для пункта б)

$$ a=\frac{11}{4} \quad \text{или} \quad a>3. $$

Ответ

а) $$a<1$$ или $$a=\frac54$$; б) $$a=\frac{11}{4}$$ или $$a>3$$.