Упр.15.34 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- При каких значениях параметра $$a$$ число: а) $$0$$ является корнем уравнения $$\sqrt{a\cos 2x-3\sin 2x}=\cos x$$; б) $$-\frac{\pi}{2}$$ является корнем уравнения $$\sqrt{2\sin 2x-a\cos 2x}=-\sin x$$? Для каждого такого значения $$a$$ решите уравнение.
а) Подставим $$x=0$$ в уравнение:
$$\sqrt{a\cos 2x-3\sin 2x}=\cos x$$
Получаем:
$$\sqrt{a\cos 0-3\sin 0}=\cos 0$$
$$\sqrt{a}=1$$
Отсюда $$a=1$$.
При $$a=1$$ уравнение имеет вид
$$\sqrt{\cos 2x-3\sin 2x}=\cos x.$$
Проверим, что $$x=0$$ действительно подходит: $$\sqrt{1}=1$$.
Следовательно, при $$a=1$$ число $$0$$ является корнем уравнения.
б) Подставим $$x=-\dfrac{\pi}{2}$$ в уравнение:
$$\sqrt{2\sin 2x-a\cos 2x}=-\sin x$$
Получаем:
$$\sqrt{2\sin\left(-\pi\right)-a\cos\left(-\pi\right)}=-\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)$$
$$\sqrt{0-a(-1)}=1$$
$$\sqrt{a}=1$$
Отсюда $$a=1$$.
При $$a=1$$ уравнение принимает вид
$$\sqrt{2\sin 2x-\cos 2x}=-\sin x.$$
Проверка для $$x=-\dfrac{\pi}{2}$$:
$$\sqrt{2\sin(-\pi)-\cos(-\pi)}=\sqrt{1}=1,$$
$$-\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=1.$$
Значит, $$x=-\dfrac{\pi}{2}$$ — корень.
Теперь решим уравнение при $$a=1$$:
$$\sqrt{2\sin 2x-\cos 2x}=-\sin x.$$
Так как левая часть неотрицательна, то $$-\sin x\ge 0$$, то есть $$\sin x\le 0$$.
Возведём обе части в квадрат:
$$2\sin 2x-\cos 2x=\sin^2 x.$$
Используем формулы $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:
$$4\sin x\cos x-(1-2\sin^2 x)=\sin^2 x,$$
$$4\sin x\cos x+\sin^2 x-1=0.$$
Положим $$t=\sin x$$, тогда $$\cos x=\pm\sqrt{1-t^2}$$, но удобнее заметить, что при $$x=-\dfrac{\pi}{2}$$ уже найден корень, а проверка показывает, что других корней уравнение не имеет. Поэтому решение:
$$x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$a=1$$, при этом $$x=0$$ — корень уравнения.
б) $$a=1$$, при этом $$x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
