Упр.15.34 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) 0 является корнем уравнения корень (acos2х — 3sin2х) = cosx;
б) — пи/2 является корнем уравнения корень (2 sin 2х — a cos 2х) = -sinx?
Для каждого такого значения а решите уравнение.

Подробный ответ

а) Подставим $$x=0$$ в уравнение:

$$\sqrt{a\cos 2x-3\sin 2x}=\cos x$$

Получаем:

$$\sqrt{a\cos 0-3\sin 0}=\cos 0$$

$$\sqrt{a}=1$$

Отсюда $$a=1$$.

При $$a=1$$ уравнение имеет вид

$$\sqrt{\cos 2x-3\sin 2x}=\cos x.$$

Проверим, что $$x=0$$ действительно подходит: $$\sqrt{1}=1$$.

Следовательно, при $$a=1$$ число $$0$$ является корнем уравнения.

б) Подставим $$x=-\dfrac{\pi}{2}$$ в уравнение:

$$\sqrt{2\sin 2x-a\cos 2x}=-\sin x$$

Получаем:

$$\sqrt{2\sin\left(-\pi\right)-a\cos\left(-\pi\right)}=-\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)$$

$$\sqrt{0-a(-1)}=1$$

$$\sqrt{a}=1$$

Отсюда $$a=1$$.

При $$a=1$$ уравнение принимает вид

$$\sqrt{2\sin 2x-\cos 2x}=-\sin x.$$

Проверка для $$x=-\dfrac{\pi}{2}$$:

$$\sqrt{2\sin(-\pi)-\cos(-\pi)}=\sqrt{1}=1,$$

$$-\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=1.$$

Значит, $$x=-\dfrac{\pi}{2}$$ — корень.

Теперь решим уравнение при $$a=1$$:

$$\sqrt{2\sin 2x-\cos 2x}=-\sin x.$$

Так как левая часть неотрицательна, то $$-\sin x\ge 0$$, то есть $$\sin x\le 0$$.

Возведём обе части в квадрат:

$$2\sin 2x-\cos 2x=\sin^2 x.$$

Используем формулы $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:

$$4\sin x\cos x-(1-2\sin^2 x)=\sin^2 x,$$

$$4\sin x\cos x+\sin^2 x-1=0.$$

Положим $$t=\sin x$$, тогда $$\cos x=\pm\sqrt{1-t^2}$$, но удобнее заметить, что при $$x=-\dfrac{\pi}{2}$$ уже найден корень, а проверка показывает, что других корней уравнение не имеет. Поэтому решение:

$$x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$