Упр.15.33 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
а) x2 — (3а — 1) |х| + 2а2 — а = 0 имеет четыре различных корня;
б) х2 — (4а — 2) |x| + 3а2 — 2а = 0 имеет ровно два различных корня?
а) Пусть $$t=|x|,\quad t\ge 0.$$ Тогда уравнение принимает вид
$$t^2-(3a-1)t+2a^2-a=0.$$
Чтобы исходное уравнение имело четыре различных корня, квадратное уравнение по $$t$$ должно иметь два различных положительных корня.
Для этого нужно:
$$D>0,\quad \frac{3a-1}{1}>0,\quad 2a^2-a>0.$$
Вычислим дискриминант:
$$ D=(3a-1)^2-4(2a^2-a)=9a^2-6a+1-8a^2+4a=a^2-2a+1=(a-1)^2. $$
Тогда условие $$D>0$$ даёт
$$a\ne 1.$$
Из условий на сумму и произведение корней получаем:
$$3a-1>0 \quad \Rightarrow \quad a>\frac13,$$
$$2a^2-a>0 \quad \Rightarrow \quad a(2a-1)>0 \quad \Rightarrow \quad a<0 \ \text{или}\ a>\frac12.$$
С учётом $$a>\frac13$$ остаётся
$$a>\frac12.$$
Итак,
$$a\in\left(\frac12,1\right)\cup(1,+\infty).$$
б) Аналогично положим $$t=|x|,\quad t\ge 0.$$ Тогда
$$t^2-(4a-2)t+3a^2-2a=0.$$
Чтобы исходное уравнение имело ровно два различных корня, квадратное уравнение по $$t$$ должно иметь либо:
- один положительный корень $$t>0$$ кратности 2;
- или два корня, один из которых равен $$0$$, а другой положителен.
Рассмотрим оба случая.
1) Один двукратный положительный корень. Тогда $$D=0$$ и корень положителен.
$$ D=(4a-2)^2-4(3a^2-2a)=16a^2-16a+4-12a^2+8a=4a^2-8a+4=4(a-1)^2. $$
Отсюда $$D=0$$ при $$a=1.$$ При этом
$$t=\frac{4a-2}{2}=2a-1=1>0,$$
значит, при $$a=1$$ получаем ровно два различных корня $$x=\pm 1.$$
2) Один из корней равен нулю. Тогда
$$3a^2-2a=0 \quad \Rightarrow \quad a(3a-2)=0,$$
то есть $$a=0$$ или $$a=\frac23.$$
При $$a=0$$ уравнение по $$t$$ имеет вид
$$t^2+2t=0,$$
и даёт корни $$t=0$$ и $$t=-2,$$ что не подходит.
При $$a=\frac23$$ получаем
$$t^2-\frac23 t=0,$$
то есть $$t=0$$ и $$t=\frac23.$$ Тогда исходное уравнение имеет корни $$x=0,\ x=\pm \frac23,$$ то есть три различных корня, что тоже не подходит.
Следовательно, подходит только $$a=1.$$
Ответ
а) $$a\in\left(\frac12,1\right)\cup(1,+\infty)$$
б) $$a=1$$
