Упр.15.32 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
а) |x + 2| = ах + 1; б) |x — 4| = ах + 2?
а) Рассмотрим уравнение $$|x+2|=ax+1.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$ (x+2)^2=(ax+1)^2 $$
$$ x^2+4x+4=a^2x^2+2ax+1 $$
$$ (a^2-1)x^2+2(a-2)x-3=0. $$
Далее учитываем знак выражения под модулем.
1) Если $$x+2\ge 0,$$ то $$|x+2|=x+2$$ и
$$ x+2=ax+1 \;\Rightarrow\; x(a-1)=1. $$
При $$a=1$$ решений нет. При $$a\ne 1$$ получаем
$$ x=\frac{1}{a-1}. $$
Это значение должно удовлетворять условию $$x\ge -2$$:
$$ \frac{1}{a-1}\ge -2 \;\Longleftrightarrow\; \frac{2a-1}{a-1}\ge 0. $$
Отсюда
$$ a\le \frac12 \quad \text{или} \quad a>1. $$
2) Если $$x+2<0,$$ то $$|x+2|=-x-2$$ и
$$ -x-2=ax+1 \;\Rightarrow\; x(a+1)=-3. $$
При $$a=-1$$ решений нет. При $$a\ne -1$$ получаем
$$ x=-\frac{3}{a+1}. $$
Это значение должно удовлетворять условию $$x<-2$$:
$$ -\frac{3}{a+1}<-2 \;\Longleftrightarrow\; \frac{2a-1}{a+1}<0. $$
Отсюда
$$ -1<a\le \frac12. $$
Теперь объединяем результаты:
- при $$a\le -1$$ — одно решение;
- при $$-1<a<\frac12$$ — два решения;
- при $$a=\frac12$$ — одно решение;
- при $$\frac12<a<1$$ — решений нет;
- при $$a=1$$ — одно решение;
- при $$a>1$$ — одно решение.
б) Рассмотрим уравнение $$|x-4|=ax+2.$$
Если $$x-4\ge 0,$$ то $$|x-4|=x-4$$ и
$$ x-4=ax+2 \;\Rightarrow\; x(a-1)=-6. $$
При $$a=1$$ решений нет. При $$a\ne 1$$
$$ x=-\frac{6}{a-1}. $$
Это значение должно удовлетворять условию $$x\ge 4$$:
$$ -\frac{6}{a-1}\ge 4 \;\Longleftrightarrow\; \frac{2a-1}{a-1}\le 0. $$
Отсюда
$$ \frac12\le a<1. $$
Если $$x-4<0,$$ то $$|x-4|=-x+4$$ и
$$ -x+4=ax+2 \;\Rightarrow\; x(a+1)=2. $$
При $$a=-1$$ решений нет. При $$a\ne -1$$
$$ x=\frac{2}{a+1}. $$
Это значение должно удовлетворять условию $$x<4$$:
$$ \frac{2}{a+1}<4 \;\Longleftrightarrow\; \frac{2a-1}{a+1}>0. $$
Отсюда
$$ a<-1 \quad \text{или} \quad a>\frac12. $$
С учётом второго случая получаем:
- при $$a<-1$$ — одно решение;
- при $$-1<a<\frac12$$ — два решения;
- при $$a=\frac12$$ — одно решение;
- при $$\frac12<a<1$$ — одно решение;
- при $$a\ge 1$$ — одно решение.
Ответ
а) два решения при $$-1<a<\frac12$$; одно решение при $$a\le -1,$$ $$a=\frac12,$$ $$a\ge 1$$; решений нет при $$\frac12<a<1$$.
б) два решения при $$-1<a<\frac12$$; одно решение при $$a<-1,$$ $$a=\frac12,$$ $$a\ge 1$$; решений нет при $$a=-1$$.
