Упр.15.31 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) x + 2 = а|x-1|; б) а|x-3| = x+1
имеет единственное решение? Найдите это решение.

а) Рассмотрим два случая.

1) Если $$x \ge 1,$$ то $$|x-1|=x-1,$$ и уравнение принимает вид

$$x+2=a(x-1).$$

Тогда

$$ (a-1)x=a+2, \qquad x=\frac{a+2}{a-1}. $$

Чтобы это решение подходило, нужно

$$\frac{a+2}{a-1}\ge 1.$$

Преобразуем:

$$ \frac{a+2}{a-1}-1=\frac{3}{a-1}\ge 0. $$

Отсюда $$a>1.$$

2) Если $$x<1,$$ то $$|x-1|=1-x,$$ и уравнение принимает вид

$$x+2=a(1-x).$$

Тогда

$$ (a+1)x=a-2, \qquad x=\frac{a-2}{a+1}. $$

Чтобы это решение подходило, нужно

$$\frac{a-2}{a+1}<1.$$

Преобразуем:

$$ \frac{a-2}{a+1}-1=\frac{-3}{a+1}<0. $$

Отсюда $$a>-1.$$

Итак, при $$a\le -1$$ решений нет, при $$-1<a\le 1$$ есть ровно одно решение, а при $$a>1$$ — два решения. Значит, единственное решение получается при

$$-1<a\le 1.$$

При этом решение равно

$$x=\frac{a-2}{a+1}.$$

б) Аналогично рассмотрим два случая.

1) Если $$x \ge 3,$$ то $$|x-3|=x-3,$$ и

$$a(x-3)=x+1.$$

Тогда

$$ (a-1)x=1+3a, \qquad x=\frac{1+3a}{a-1}. $$

Условие $$x\ge 3$$ даёт

$$\frac{1+3a}{a-1}\ge 3,$$

то есть

$$ \frac{1+3a-3(a-1)}{a-1}=\frac{4}{a-1}\ge 0, $$

откуда $$a>1.$$

2) Если $$x<3,$$ то $$|x-3|=3-x,$$ и

$$a(3-x)=x+1.$$

Тогда

$$ (a+1)x=3a-1, \qquad x=\frac{3a-1}{a+1}. $$

Условие $$x<3$$ даёт

$$\frac{3a-1}{a+1}<3,$$

то есть

$$ \frac{3a-1-3(a+1)}{a+1}=\frac{-4}{a+1}<0, $$

откуда $$a>-1.$$

Следовательно, единственное решение получается при

$$-1<a\le 1.$$

При этом решение равно

$$x=\frac{3a-1}{a+1}.$$

Ответ

а) $$-1<a\le 1,$$ $$x=\frac{a-2}{a+1}.$$

б) $$-1<a\le 1,$$ $$x=\frac{3a-1}{a+1}.$$