Упр.15.31 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
При каких значениях параметра $$a$$ уравнение: а) $$x+2=a|x-1|$$; б) $$a|x-3|=x+1$$ имеет единственное решение? Найдите это решение.
а) Рассмотрим два случая.
1) Если $$x \ge 1,$$ то $$|x-1|=x-1,$$ и уравнение принимает вид
$$x+2=a(x-1).$$
Тогда
$$(a-1)x=a+2, \qquad x=\frac{a+2}{a-1}.$$
Чтобы это решение подходило, нужно
$$\frac{a+2}{a-1}\ge 1.$$
Преобразуем:
$$\frac{a+2}{a-1}-1=\frac{3}{a-1}\ge 0.$$
Отсюда $$a>1.$$
2) Если $$x<1,$$ то $$|x-1|=1-x,$$ и уравнение принимает вид
$$x+2=a(1-x).$$
Тогда
$$(a+1)x=a-2, \qquad x=\frac{a-2}{a+1}.$$
Чтобы это решение подходило, нужно
$$\frac{a-2}{a+1}<1.$$
Преобразуем:
$$\frac{a-2}{a+1}-1=\frac{-3}{a+1}<0.$$
Отсюда $$a>-1.$$
Итак, при $$a\le -1$$ решений нет, при $$-1<a\le 1$$ есть ровно одно решение, а при $$a>1$$ — два решения. Значит, единственное решение получается при
$$-1<a\le 1.$$
При этом решение равно
$$x=\frac{a-2}{a+1}.$$
б) Аналогично рассмотрим два случая.
1) Если $$x \ge 3,$$ то $$|x-3|=x-3,$$ и
$$a(x-3)=x+1.$$
Тогда
$$(a-1)x=1+3a, \qquad x=\frac{1+3a}{a-1}.$$
Условие $$x\ge 3$$ даёт
$$\frac{1+3a}{a-1}\ge 3,$$
то есть
$$\frac{1+3a-3(a-1)}{a-1}=\frac{4}{a-1}\ge 0,$$
откуда $$a>1.$$
2) Если $$x<3,$$ то $$|x-3|=3-x,$$ и
$$a(3-x)=x+1.$$
Тогда
$$(a+1)x=3a-1, \qquad x=\frac{3a-1}{a+1}.$$
Условие $$x<3$$ даёт
$$\frac{3a-1}{a+1}<3,$$
то есть
$$\frac{3a-1-3(a+1)}{a+1}=\frac{-4}{a+1}<0,$$
откуда $$a>-1.$$
Следовательно, единственное решение получается при
$$-1<a\le 1.$$
При этом решение равно
$$x=\frac{3a-1}{a+1}.$$
Ответ
а) $$-1<a\le 1,$$ $$x=\frac{a-2}{a+1}.$$
б) $$-1<a\le 1,$$ $$x=\frac{3a-1}{a+1}.$$
