Упр.15.30 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) а =/ -3 уравнение 2 sin 2х = (a-1)/(a+3) не имеет корней;
б) а =/ 2 уравнение 3cosx = (a+5)/(a-2) не имеет корней?

а) Уравнение $$2\sin 2x=\frac{a-1}{a+3}$$ не имеет корней тогда и только тогда, когда правая часть не принадлежит промежутку $$[-2;2]$$:

$$\left|\frac{a-1}{a+3}\right|>2,\qquad a\ne -3.$$

Решим неравенство:

$$\frac{a-1}{a+3}>2 \quad \text{или} \quad \frac{a-1}{a+3}<-2.$$

1) $$\frac{a-1}{a+3}>2$$

$$\frac{a-1-2a-6}{a+3}>0$$
$$\frac{-a-7}{a+3}>0$$
$$\frac{a+7}{a+3}<0,$$

откуда

$$-7<a<-3.$$

2) $$\frac{a-1}{a+3}<-2$$

$$\frac{a-1+2a+6}{a+3}<0$$ $$\frac{3a+5}{a+3}<0,$$

откуда

$$-3<a<-\frac53.$$

Объединяя, получаем:

$$a\in(-7;-3)\cup\left(-3;-\frac53\right).$$

б) Уравнение $$3\cos x=\frac{a+5}{a-2}$$ не имеет корней тогда и только тогда, когда

$$\left|\frac{a+5}{a-2}\right|>3,\qquad a\ne 2.$$

Решим неравенство:

$$\frac{a+5}{a-2}>3 \quad \text{или} \quad \frac{a+5}{a-2}<-3.$$

1) $$\frac{a+5}{a-2}>3$$

$$\frac{a+5-3a+6}{a-2}>0$$
$$\frac{11-2a}{a-2}>0,$$

откуда

$$2<a<\frac{11}{2}.$$

2) $$\frac{a+5}{a-2}<-3$$

$$\frac{a+5+3a-6}{a-2}<0$$ $$\frac{4a-1}{a-2}<0,$$

откуда

$$\frac14<a<2.$$

Объединяя, получаем:

$$a\in\left(\frac14;2\right)\cup\left(2;\frac{11}{2}\right).$$

Ответ

а) $$a\in(-7;-3)\cup\left(-3;-\frac53\right);$$ б) $$a\in\left(\frac14;2\right)\cup\left(2;\frac{11}{2}\right).$$