Упр.15.3 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 15.3
а) Рассмотрим уравнение
$$\frac{1}{x+1}=a.$$
Если $$x\ne -1,$$ то
$$1=a(x+1).$$
Тогда при $$a\ne 0$$
$$x=\frac{1-a}{a}.$$
Проверим, когда это значение не нарушает ОДЗ:
$$\frac{1-a}{a}\ne -1 \;\Rightarrow\; 1-a\ne -a \;\Rightarrow\; 1\ne 0,$$
то есть ограничение выполняется всегда при $$a\ne 0.$$
При $$a=0$$ получаем противоречие: $$\frac{1}{x+1}=0,$$ решений нет.
При $$a=\frac12$$
$$x=\frac{1-\frac12}{\frac12}=1,$$
но тогда исходное уравнение не выполняется, так как $$\frac{1}{1+1}=\frac12.$$ Значит, при $$a=\frac12$$ корней нет.
Итак, при $$a\ne 0,\ \frac12$$ уравнение имеет единственный корень
$$x=\frac{1-a}{a}.$$
б) Рассмотрим уравнение
$$x+1=a(x-1)(x+1).$$
Если $$x\ne -1,$$ то можно сократить на $$x+1$$:
$$1=a(x-1).$$
Тогда при $$a\ne 0$$
$$x=\frac{1+a}{a}.$$
Проверим, когда это значение не равно $$-1$$:
$$\frac{1+a}{a}\ne -1 \;\Rightarrow\; 1+a\ne -a \;\Rightarrow\; 1+2a\ne 0 \;\Rightarrow\; a\ne -\frac12.$$
При $$a=0$$ решений нет.
При $$a=-\frac12$$ получаем $$x=-1,$$ но это значение не подходит, так как при подстановке в исходное уравнение левая часть равна $$0,$$ а правая тоже равна $$0,$$ однако после сокращения оно не учитывается; в исходном уравнении корень отсутствует.
Следовательно, при $$a\ne 0,\ -\frac12$$ уравнение имеет единственный корень
$$x=\frac{1+a}{a}.$$
в) Рассмотрим уравнение
$$x^2-4=(a-1)(x+2).$$
Так как $$x^2-4=(x-2)(x+2),$$ то
$$ (x-2)(x+2)=(a-1)(x+2). $$
Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:
$$ (x+2)\bigl((x-2)-(a-1)\bigr)=0, $$
то есть
$$ (x+2)(x-a-1)=0. $$
Отсюда
$$x=-2 \quad \text{или} \quad x=a+1.$$
Проверим совпадение корней. Если $$a+1=-2,$$ то $$a=-3,$$ и оба корня совпадают. Тогда уравнение имеет один корень.
При $$a\ne -3$$ получаем два различных корня.
г) Рассмотрим уравнение
$$x-2=(a+1)(x^2-4).$$
Так как $$x^2-4=(x-2)(x+2),$$ то
$$x-2=(a+1)(x-2)(x+2).$$
Если $$x\ne 2,$$ можно сократить на $$x-2$$:
$$1=(a+1)(x+2).$$
Тогда при $$a\ne -1$$
$$x=\frac{1}{a+1}-2=\frac{-2a-1}{a+1}.$$
Проверим, когда это значение не равно $$2$$:
$$\frac{-2a-1}{a+1}\ne 2 \;\Rightarrow\; -2a-1\ne 2a+2 \;\Rightarrow\; 4a\ne -3 \;\Rightarrow\; a\ne -\frac34.$$
При $$a=-1$$ решений нет.
При $$a=-\frac34$$ получаем $$x=2,$$ но это значение исключалось при сокращении, поэтому корней нет.
Следовательно, при $$a\ne -1,\ -\frac34$$ уравнение имеет единственный корень
$$x=\frac{-2a-1}{a+1}.$$
Ответ
а) при $$a=0$$ и $$a=\frac12$$ корней нет; при $$a\ne 0,\ \frac12$$ $$x=\frac{1-a}{a}$$.
б) при $$a=0$$ и $$a=-\frac12$$ корней нет; при $$a\ne 0,\ -\frac12$$ $$x=\frac{1+a}{a}$$.
в) при $$a=-3$$ один корень $$x=-2$$; при $$a\ne -3$$ два корня: $$x=-2$$ и $$x=a+1$$.
г) при $$a=-1$$ и $$a=-\frac34$$ корней нет; при $$a\ne -1,\ -\frac34$$ $$x=\frac{-2a-1}{a+1}$$.
