Упр.15.29 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

(a2-a)sinx/2 + 2cosy=a+5
3sinx/2 + cosy=4;
б) система
(a2+a)siny/2 + 2cosx=3a+1
3siny/2 + cosx=-4.

Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} (a^2-a)\sin \dfrac{x}{2}+2\cos y=a+5,\\ 3\sin \dfrac{x}{2}+\cos y=4. \end{cases} $$

Из второго уравнения получаем

$$ \cos y=4-3\sin \dfrac{x}{2}. $$

Подставим это в первое уравнение:

$$ (a^2-a)\sin \dfrac{x}{2}+2\left(4-3\sin \dfrac{x}{2}\right)=a+5, $$
$$ (a^2-a-6)\sin \dfrac{x}{2}=a-3. $$

Так как

$$ a^2-a-6=(a-3)(a+2), $$

то

$$ (a-3)(a+2)\sin \dfrac{x}{2}=a-3. $$

1) Случай $$a=3$$. Тогда второе уравнение системы имеет вид

$$ 3\sin \dfrac{x}{2}+\cos y=4. $$

Так как $$|\cos y|\le 1$$, то

$$ -1\le 4-3\sin \dfrac{x}{2}\le 1. $$

Отсюда

$$ 1\le \sin \dfrac{x}{2}\le \dfrac{5}{3}. $$

С учётом того, что $$\sin \dfrac{x}{2}\le 1$$, получаем

$$ \sin \dfrac{x}{2}=1. $$

Тогда

$$ \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z, $$
$$ x=\pi+4\pi n. $$

Из второго уравнения следует

$$ \cos y=1, $$

значит

$$ y=2\pi k,\quad k\in \mathbb Z. $$

2) Случай $$a\ne 3$$. Тогда из

$$ (a-3)(a+2)\sin \dfrac{x}{2}=a-3 $$

получаем

$$ (a+2)\sin \dfrac{x}{2}=1, $$

то есть

$$ \sin \dfrac{x}{2}=\frac{1}{a+2}. $$

Тогда из второго уравнения

$$ \cos y=4-\frac{3}{a+2}=\frac{4a+5}{a+2}. $$

Для существования решений нужно, чтобы одновременно выполнялось

$$ -1\le \frac{1}{a+2}\le 1,\qquad -1\le \frac{4a+5}{a+2}\le 1. $$

Решая эту систему неравенств, получаем

$$ a=-1. $$

При $$a=-1$$ имеем

$$ \sin \dfrac{x}{2}=1,\qquad \cos y=1. $$

Следовательно,

$$ x=\pi+4\pi n,\quad y=2\pi k,\quad n,k\in \mathbb Z. $$

Ответ

При $$a=-1$$:
$$ x=\pi+4\pi n,\quad y=2\pi k,\quad n,k\in \mathbb Z. $$
При $$a=3$$:
$$ x=\pi+4\pi n,\quad y=2\pi k,\quad n,k\in \mathbb Z. $$
При остальных значениях $$a$$ решений нет.