Упр.15.28 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

sin2xcosy=-a2-1
sinycos2x=a;
б) система
sin3xcos2y=-a2-1
sin2ycos3x=a+1.

а) Имеем систему

$$ \begin{cases} \sin 2x \cos y = -a^2-1,\\ \sin y \cos 2x = a. \end{cases} $$

Так как $$-a^2-1 \le -1$$, а для любых $$x$$ и $$y$$ произведение $$\sin 2x \cos y \ge -1$$, то равенство возможно только при $$a=0$$.

При $$a=0$$ система принимает вид

$$ \begin{cases} \sin 2x \cos y = -1,\\ \sin y \cos 2x = 0. \end{cases} $$

Сложим и вычтем уравнения системы:

$$ \begin{cases} \sin(2x+y)=-1,\\ \sin(2x-y)=-1. \end{cases} $$

Тогда

$$ 2x+y=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in \mathbb Z, $$

$$ 2x-y=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z. $$

Складывая и вычитая эти равенства, получаем

$$ 4x=-\pi+2\pi(n+k), $$

$$ x=-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}(n+k), $$

$$ y=\pi(k-n),\quad n,k\in \mathbb Z. $$

б) Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} \sin 3x \cos 2y = -a^2-1,\\ \sin 2y \cos 3x = a+1. \end{cases} $$

Как и в пункте а), из первого уравнения следует, что решение возможно только при $$a=0$$.

При $$a=0$$ получаем

$$ \begin{cases} \sin 3x \cos 2y = -1,\\ \sin 2y \cos 3x = 1. \end{cases} $$

Сложим и вычтем уравнения системы:

$$ \begin{cases} \sin(3x+2y)=0,\\ \sin(3x-2y)=-2. \end{cases} $$

Но значение функции $$\sin$$ не может быть равно $$-2$$, значит, система решений не имеет.

Ответ

а) при $$a=0$$

$$ \left(-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}(n+k);\ \pi(k-n)\right),\quad n,k\in \mathbb Z; $$

при $$a\ne 0$$ решений нет.

б) решений нет при любом $$a$$.