Упр.15.27 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) система $$\begin{cases}x^2+y^2=a,\\x+y=-1;\end{cases}$$ б) система $$\begin{cases}x^2+y^2=a,\\x-y=-1.\end{cases}$$

1. а) Из уравнения $$x+y=-1$$ получаем $$y=-x-1$$. Подставим в первое уравнение:

   $$x^2+(-x-1)^2=a$$

   $$x^2+x^2+2x+1=a$$

   $$2x^2+2x+1-a=0$$

   Рассмотрим дискриминант:

   $$D=2^2-4\cdot 2\cdot(1-a)=4-8+8a=8a-4.$$

   Если $$D<0$$, то решений нет, то есть при $$a<\frac12$$ система не имеет решений.

   Если $$a=\frac12$$, то $$D=0$$ и

   $$x=-\frac{2}{4}=-\frac12,\qquad y=-x-1=-\frac12.$$

   Если $$a>\frac12$$, то

   $$x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{8a-4}}{4}=\frac{-1\pm\sqrt{2a-1}}{2}.$$

   Тогда

   $$y_{1,2}=-x_{1,2}-1,$$

   то есть

   $$y_1=\frac{-1-\sqrt{2a-1}}{2},\qquad y_2=\frac{-1+\sqrt{2a-1}}{2}.$$

2. б) Из уравнения $$x-y=-1$$ получаем $$y=x+1$$. Подставим в первое уравнение:

   $$x^2+(x+1)^2=a$$

   $$x^2+x^2+2x+1=a$$

   $$2x^2+2x+1-a=0.$$

   Дискриминант такой же:

   $$D=8a-4.$$

   Если $$a<\frac12$$, решений нет.

   Если $$a=\frac12$$, то

   $$x=-\frac12,\qquad y=\frac12.$$

   Если $$a>\frac12$$, то

   $$x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{2a-1}}{2},$$

   а значит

   $$y_{1,2}=x_{1,2}+1,$$

   то есть

   $$y_1=\frac{1-\sqrt{2a-1}}{2},\qquad y_2=\frac{1+\sqrt{2a-1}}{2}.$$

Ответ

а) при $$a<\frac12$$ решений нет; при $$a=\frac12$$ $$\left(-\frac12,-\frac12\right)$$; при $$a>\frac12$$

$$\left(\frac{-1-\sqrt{2a-1}}{2},\frac{-1-\sqrt{2a-1}}{2}\right),\ \left(\frac{-1+\sqrt{2a-1}}{2},\frac{-1+\sqrt{2a-1}}{2}\right).$$

б) при $$a<\frac12$$ решений нет; при $$a=\frac12$$ $$\left(-\frac12,\frac12\right)$$; при $$a>\frac12$$

$$\left(\frac{-1-\sqrt{2a-1}}{2},\frac{1-\sqrt{2a-1}}{2}\right),\ \left(\frac{-1+\sqrt{2a-1}}{2},\frac{1+\sqrt{2a-1}}{2}\right).$$