Упр.15.26 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) система $$\begin{cases} x^2+y^2=a, \\ x+y=1; \end{cases}$$
   б) система $$\begin{cases} x^2+y^2=a, \\ x-y=1. \end{cases}$$

а) Из второго уравнения выразим $$y$$:

$$y=1-x.$$

Подставим в первое уравнение:

$$x^2+(1-x)^2=a,$$

откуда

$$2x^2-2x+1-a=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-2)^2-4\cdot 2\cdot(1-a)=4-8+8a=8a-4.$$

1) Если $$a<\frac12,$$ то $$D<0,$$ решений нет.

2) Если $$a=\frac12,$$ то $$D=0,$$ и

$$x=\frac{-(-2)}{2\cdot 2}=\frac12,$$

$$y=1-\frac12=\frac12.$$

3) Если $$a>\frac12,$$ то

$$x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{8a-4}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{2a-1}}{2}.$$

Тогда

$$y=1-x,$$

поэтому получаем две точки:

$$\left(\frac{1+\sqrt{2a-1}}{2},\frac{1-\sqrt{2a-1}}{2}\right),\quad \left(\frac{1-\sqrt{2a-1}}{2},\frac{1+\sqrt{2a-1}}{2}\right).$$

б) Аналогично, из второго уравнения:

$$y=x-1.$$

Подставим в первое:

$$x^2+(x-1)^2=a,$$

то есть

$$2x^2-2x+1-a=0.$$

Дискриминант тот же:

$$D=8a-4.$$

1) При $$a<\frac12$$ решений нет.

2) При $$a=\frac12$$ имеем

$$x=\frac12,\qquad y=\frac12-1=-\frac12.$$

3) При $$a>\frac12$$

$$x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{2a-1}}{2},$$

а значит

$$y=x-1=\frac{-1\pm\sqrt{2a-1}}{2}.$$

Получаем две точки:

$$\left(\frac{1+\sqrt{2a-1}}{2},\frac{-1+\sqrt{2a-1}}{2}\right),\quad \left(\frac{1-\sqrt{2a-1}}{2},\frac{-1-\sqrt{2a-1}}{2}\right).$$

Ответ

а) При $$a<\frac12$$ решений нет; при $$a=\frac12$$ $$\left(\frac12;\frac12\right)$$; при $$a>\frac12$$ $$\left(\frac{1+\sqrt{2a-1}}{2},\frac{1-\sqrt{2a-1}}{2}\right)$$ и $$\left(\frac{1-\sqrt{2a-1}}{2},\frac{1+\sqrt{2a-1}}{2}\right).$$

б) При $$a<\frac12$$ решений нет; при $$a=\frac12$$ $$\left(\frac12;-\frac12\right)$$; при $$a>\frac12$$ $$\left(\frac{1+\sqrt{2a-1}}{2},\frac{-1+\sqrt{2a-1}}{2}\right)$$ и $$\left(\frac{1-\sqrt{2a-1}}{2},\frac{-1-\sqrt{2a-1}}{2}\right).$$