Упр.15.25 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
(a-1)y=a2-1
x+y=a;
б) система
(a+1)y=a2-1
x+y=a;
в) система
(a-1)y=a2-1
x-y=a;
г) система
(a+1)y=a2-1
x-y=a.
а) Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} (a-1)y=a^2-1,\\ x+y=a. \end{cases} $$
Если $$a=1,$$ то первое уравнение обращается в тождество $$0=0,$$ и система сводится к
$$ x+y=1. $$
Тогда $$x=1-t,\ y=t,\ t\in \mathbb{R}.$$
Если $$a\ne 1,$$ то из первого уравнения
$$ y=\frac{a^2-1}{a-1}=a+1. $$
Подставим во второе уравнение:
$$ x+(a+1)=a \Rightarrow x=-1. $$
Значит, при $$a\ne 1$$ получаем $$x=-1,\ y=a+1.$$
б) Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} (a+1)y=(a-1)(a+1),\\ x+y=a. \end{cases} $$
Если $$a=-1,$$ то первое уравнение становится тождеством $$0=0,$$ и остаётся
$$ x+y=-1. $$
Тогда $$x=-1-t,\ y=t,\ t\in \mathbb{R}.$$
Если $$a\ne -1,$$ то из первого уравнения
$$ y=\frac{(a-1)(a+1)}{a+1}=a-1. $$
Из второго уравнения
$$ x+(a-1)=a \Rightarrow x=1. $$
Следовательно, при $$a\ne -1$$ имеем $$x=1,\ y=a-1.$$
в) Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} (a+1)y=(a-1)(a+1),\\ x-y=a. \end{cases} $$
Если $$a=-1,$$ то первое уравнение тождественно, и система сводится к
$$ x-y=-1. $$
Тогда $$x=t-1,\ y=t,\ t\in \mathbb{R}.$$
Если $$a\ne -1,$$ то
$$ y=a-1. $$
Подставим во второе уравнение:
$$ x-(a-1)=a \Rightarrow x=2a-1. $$
Значит, при $$a\ne -1$$ получаем $$x=2a-1,\ y=a-1.$$
г) Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} (a-1)y=(a-1)(a+1),\\ x-y=a. \end{cases} $$
Если $$a=1,$$ то первое уравнение тождественно, и остаётся
$$ x-y=1. $$
Тогда $$x=t+1,\ y=t,\ t\in \mathbb{R}.$$
Если $$a\ne 1,$$ то
$$ y=a+1. $$
Из второго уравнения
$$ x-(a+1)=a \Rightarrow x=2a+1. $$
Следовательно, при $$a\ne 1$$ имеем $$x=2a+1,\ y=a+1.$$
Ответ
а) при $$a=1$$: $$x=1-t,\ y=t,\ t\in \mathbb{R}$$; при $$a\ne 1$$: $$x=-1,\ y=a+1$$.
б) при $$a=-1$$: $$x=-1-t,\ y=t,\ t\in \mathbb{R}$$; при $$a\ne -1$$: $$x=1,\ y=a-1$$.
в) при $$a=-1$$: $$x=t-1,\ y=t,\ t\in \mathbb{R}$$; при $$a\ne -1$$: $$x=2a-1,\ y=a-1$$.
г) при $$a=1$$: $$x=t+1,\ y=t,\ t\in \mathbb{R}$$; при $$a\ne 1$$: $$x=2a+1,\ y=a+1$$.
