Упр.15.25 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

• а) система $$\begin{cases}(a-1)y=a^2-1,\\x+y=a;\end{cases}$$
• б) система $$\begin{cases}(a+1)y=a^2-1,\\x+y=a;\end{cases}$$
• в) система $$\begin{cases}(a-1)y=a^2-1,\\x-y=a;\end{cases}$$
• г) система $$\begin{cases}(a+1)y=a^2-1,\\x-y=a.\end{cases}$$

а) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} (a-1)y=a^2-1,\\ x+y=a. \end{cases}$$

Если $$a=1,$$ то первое уравнение обращается в тождество $$0=0,$$ и система сводится к

$$x+y=1.$$

Тогда $$x=1-t,\ y=t,\ t\in \mathbb{R}.$$

Если $$a\ne 1,$$ то из первого уравнения

$$y=\frac{a^2-1}{a-1}=a+1.$$

Подставим во второе уравнение:

$$x+(a+1)=a \Rightarrow x=-1.$$

Значит, при $$a\ne 1$$ получаем $$x=-1,\ y=a+1.$$

б) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} (a+1)y=(a-1)(a+1),\\ x+y=a. \end{cases}$$

Если $$a=-1,$$ то первое уравнение становится тождеством $$0=0,$$ и остаётся

$$x+y=-1.$$

Тогда $$x=-1-t,\ y=t,\ t\in \mathbb{R}.$$

Если $$a\ne -1,$$ то из первого уравнения

$$y=\frac{(a-1)(a+1)}{a+1}=a-1.$$

Из второго уравнения

$$x+(a-1)=a \Rightarrow x=1.$$

Следовательно, при $$a\ne -1$$ имеем $$x=1,\ y=a-1.$$

в) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} (a+1)y=(a-1)(a+1),\\ x-y=a. \end{cases}$$

Если $$a=-1,$$ то первое уравнение тождественно, и система сводится к

$$x-y=-1.$$

Тогда $$x=t-1,\ y=t,\ t\in \mathbb{R}.$$

Если $$a\ne -1,$$ то

$$y=a-1.$$

Подставим во второе уравнение:

$$x-(a-1)=a \Rightarrow x=2a-1.$$

Значит, при $$a\ne -1$$ получаем $$x=2a-1,\ y=a-1.$$

г) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} (a-1)y=(a-1)(a+1),\\ x-y=a. \end{cases}$$

Если $$a=1,$$ то первое уравнение тождественно, и остаётся

$$x-y=1.$$

Тогда $$x=t+1,\ y=t,\ t\in \mathbb{R}.$$

Если $$a\ne 1,$$ то

$$y=a+1.$$

Из второго уравнения

$$x-(a+1)=a \Rightarrow x=2a+1.$$

Следовательно, при $$a\ne 1$$ имеем $$x=2a+1,\ y=a+1.$$

Ответ

а) при $$a=1$$: $$x=1-t,\ y=t,\ t\in \mathbb{R}$$; при $$a\ne 1$$: $$x=-1,\ y=a+1$$.

б) при $$a=-1$$: $$x=-1-t,\ y=t,\ t\in \mathbb{R}$$; при $$a\ne -1$$: $$x=1,\ y=a-1$$.

в) при $$a=-1$$: $$x=t-1,\ y=t,\ t\in \mathbb{R}$$; при $$a\ne -1$$: $$x=2a-1,\ y=a-1$$.

г) при $$a=1$$: $$x=t+1,\ y=t,\ t\in \mathbb{R}$$; при $$a\ne 1$$: $$x=2a+1,\ y=a+1$$.