Упр.15.24 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- Для каждого значения параметра $$a$$ решите систему уравнений:
а) $$\begin{cases}(a-1)y=a+1,\\x+y=a;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}(a+1)y=a+2,\\x+y=a;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}(a-1)y=a+3,\\x-y=a;\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}(a+1)y=a+4,\\x-y=a.\end{cases}$$
а) Из первого уравнения выразим $$y$$:
$$y=a-x.$$
Подставим во второе уравнение:
$$(a-1)(a-x)=a+1.$$
Если $$a=1$$, то получаем $$0\cdot(1-x)=2$$, что невозможно. Значит, при $$a=1$$ решений нет.
Если $$a\ne 1$$, то
$$a-x=\frac{a+1}{a-1},$$
откуда
$$x=a-\frac{a+1}{a-1}=\frac{a^2-2a-1}{a-1}.$$
Тогда
$$y=a-x=\frac{a+1}{a-1}.$$
б) Из первого уравнения снова имеем
$$y=a-x.$$
Подставим во второе уравнение:
$$(a+1)(a-x)=a+2.$$
Если $$a=-1$$, то получаем $$0\cdot(-1-x)=1$$, что невозможно. Значит, при $$a=-1$$ решений нет.
Если $$a\ne -1$$, то
$$a-x=\frac{a+2}{a+1},$$
откуда
$$x=a-\frac{a+2}{a+1}=\frac{a^2-2}{a+1}.$$
Тогда
$$y=a-x=\frac{a+2}{a+1}.$$
в) Из первого уравнения:
$$y=x-a.$$
Подставим во второе уравнение:
$$(a-1)(x-a)=a+3.$$
Если $$a=1$$, то получаем $$0\cdot(x-1)=4$$, что невозможно. Значит, при $$a=1$$ решений нет.
Если $$a\ne 1$$, то
$$x-a=\frac{a+3}{a-1},$$
откуда
$$x=a+\frac{a+3}{a-1}=\frac{a^2+3}{a-1}.$$
Тогда
$$y=x-a=\frac{a+3}{a-1}.$$
г) Из первого уравнения:
$$y=x-a.$$
Подставим во второе уравнение:
$$(a+1)(a-x)=a+4.$$
Если $$a=-1$$, то получаем $$0\cdot(-1-x)=3$$, что невозможно. Значит, при $$a=-1$$ решений нет.
Если $$a\ne -1$$, то
$$a-x=\frac{a+4}{a+1},$$
откуда
$$x=a-\frac{a+4}{a+1}=\frac{a^2-3}{a+1}.$$
Тогда
$$y=x-a=-\frac{a+4}{a+1}.$$
Ответ
а) при $$a=1$$ решений нет; при $$a\ne 1$$ $$x=\frac{a^2-2a-1}{a-1},\ y=\frac{a+1}{a-1}$$.
б) при $$a=-1$$ решений нет; при $$a\ne -1$$ $$x=\frac{a^2-2}{a+1},\ y=\frac{a+2}{a+1}$$.
в) при $$a=1$$ решений нет; при $$a\ne 1$$ $$x=\frac{a^2+3}{a-1},\ y=\frac{a+3}{a-1}$$.
г) при $$a=-1$$ решений нет; при $$a\ne -1$$ $$x=\frac{a^2-3}{a+1},\ y=-\frac{a+4}{a+1}$$.
