Упр.15.23 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- а) $$\log_a(x-1)\geq 2\log_a(3-x)$$;
б) $$\log_a(x-3)\geq 2\log_a(5-x)$$;
в) $$\log_a(7-x)\geq 2\log_a(x-5)$$;
г) $$\log_{5a}(13-x)\geq 2\log_a(x-1)$$.
а) Рассмотрим неравенство $$\log_a(x-1)\ge 2\log_a(3-x).$$
Область определения: $$x-1>0,\quad 3-x>0,$$ то есть $$1<x<3.$$
Если $$a>1,$$ то
$$\log_a(x-1)\ge \log_a(3-x)^2 \iff x-1\ge (3-x)^2.$$
$$x-1\ge 9-6x+x^2 \iff x^2-7x+10\le 0 \iff (x-2)(x-5)\le 0.$$
С учётом $$1<x<3$$ получаем $$x\in[2;3).$$
Если $$0<a<1,$$ то знак неравенства меняется:
$$x-1\le (3-x)^2 \iff x^2-7x+10\ge 0 \iff (x-2)(x-5)\ge 0.$$
С учётом $$1<x<3$$ получаем $$x\in(1;2].$$
При $$a=1$$ логарифм не определён, решений нет.
б) Рассмотрим неравенство $$\log_a(x-3)\ge 2\log_a(5-x).$$
Область определения: $$3<x<5.$$
Если $$a>1,$$ то
$$x-3\ge (5-x)^2 \iff x^2-11x+28\le 0 \iff (x-4)(x-7)\le 0.$$
С учётом $$3<x<5$$ получаем $$x\in[4;5).$$
Если $$0<a<1,$$ то
$$x-3\le (5-x)^2 \iff x^2-11x+28\ge 0 \iff (x-4)(x-7)\ge 0.$$
С учётом $$3<x<5$$ получаем $$x\in(3;4].$$
При $$a=1$$ решений нет.
в) Рассмотрим неравенство $$\log_a(7-x)\ge 2\log_a(x-5).$$
Область определения: $$5<x<7.$$
Если $$a>1,$$ то
$$7-x\ge (x-5)^2 \iff x^2-9x+18\le 0 \iff (x-3)(x-6)\le 0.$$
С учётом $$5<x<7$$ получаем $$x\in(5;6].$$
Если $$0<a<1,$$ то
$$7-x\le (x-5)^2 \iff x^2-9x+18\ge 0 \iff (x-3)(x-6)\ge 0.$$
С учётом $$5<x<7$$ получаем $$x\in[6;7).$$
При $$a=1$$ решений нет.
г) Рассмотрим неравенство $$\log_{5a}(13-x)\ge 2\log_a(x-1).$$
Для существования логарифмов нужно $$a>0,\ a\ne 1,\ 5a>0,\ 5a\ne 1,$$ а также $$13-x>0,\ x-1>0,$$ то есть $$1<x<13.$$
Если $$a>1,$$ то и основание $$5a>1,$$ поэтому
$$\log_{5a}(13-x)\ge \log_a(x-1)^2.$$
После приведения к степеням получаем
$$13-x\ge (x-1)^2 \iff x^2-x-12\le 0 \iff (x+3)(x-4)\le 0.$$
С учётом $$1<x<13$$ имеем $$x\in(1;4].$$
Если $$0<a<1,$$ то знак неравенства меняется:
$$13-x\le (x-1)^2 \iff x^2-x-12\ge 0 \iff (x+3)(x-4)\ge 0.$$
С учётом $$1<x<13$$ получаем $$x\in[4;13).$$
При $$a=1$$ решений нет.
Ответ
а) при $$a>1$$: $$x\in[2;3),$$ при $$0<a<1$$: $$x\in(1;2],$$ при $$a=1$$ решений нет;
б) при $$a>1$$: $$x\in[4;5),$$ при $$0<a<1$$: $$x\in(3;4],$$ при $$a=1$$ решений нет;
в) при $$a>1$$: $$x\in(5;6],$$ при $$0<a<1$$: $$x\in[6;7),$$ при $$a=1$$ решений нет;
г) при $$a>1$$: $$x\in(1;4],$$ при $$0<a<1$$: $$x\in[4;13),$$ при $$a=1$$ решений нет.
