Упр.15.22 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) $$\log_a(x-2)\ge\log_a(13-x)$$; б) $$\log_a(x-3)\ge\log_3(15-2x)$$; в) $$\log_a(4-x)\ge\log_a(3x-15)$$; г) $$\log_{5a}(5-x)\ge\log_a(4x-35)$$.

1. а) Для логарифмов с основанием $$a$$ рассматриваем два случая:

   $$a>1 \quad \Rightarrow \quad x-2 \ge 13-x,$$
   $$0<a<1 \quad \Rightarrow \quad x-2 \le 13-x.$$

   При этом должны выполняться условия существования логарифмов:

   $$x-2>0,\qquad 13-x>0.$$

   Решаем неравенства:

   $$x-2 \ge 13-x \;\Rightarrow\; 2x \ge 15 \;\Rightarrow\; x \ge 7{,}5,$$
   $$x-2 \le 13-x \;\Rightarrow\; 2x \le 15 \;\Rightarrow\; x \le 7{,}5.$$

   С учётом области определения получаем:

   при $$a>1$$: $$7{,}5 \le x < 13;$$
   при $$0<a<1$$: $$2 < x \le 7{,}5.$$

   При $$a=1$$ логарифмы не определены.

2. б) Аналогично:

   $$a>1 \quad \Rightarrow \quad x-3 \ge 15-2x,$$
   $$0<a<1 \quad \Rightarrow \quad x-3 \le 15-2x.$$

   Область определения:

   $$x-3>0,\qquad 15-2x>0.$$

   Решаем:

   $$x-3 \ge 15-2x \;\Rightarrow\; 3x \ge 18 \;\Rightarrow\; x \ge 6,$$
   $$x-3 \le 15-2x \;\Rightarrow\; 3x \le 18 \;\Rightarrow\; x \le 6.$$

   С учётом ОДЗ:

   при $$a>1$$: $$6 \le x < 7{,}5;$$
   при $$0<a<1$$: $$3 < x \le 6.$$

   При $$a=1$$ логарифмы не определены.

3. в) Здесь основание одинаковое, поэтому рассматриваем два случая:

   $$a>1 \quad \Rightarrow \quad 4-x \ge 3x-15,$$
   $$0<a<1 \quad \Rightarrow \quad 4-x \le 3x-15.$$

   Область определения:

   $$4-x>0,\qquad 3x-15>0.$$

   Решаем неравенства:

   $$4-x \ge 3x-15 \;\Rightarrow\; 19 \ge 4x \;\Rightarrow\; x \le \frac{19}{4},$$
   $$4-x \le 3x-15 \;\Rightarrow\; 19 \le 4x \;\Rightarrow\; x \ge \frac{19}{4}.$$

   Но одновременно должно выполняться:

   $$x<4,\qquad x>5.$$

   Эти условия несовместны, значит решений нет при любом $$a$$.

4. г) Для существования логарифмов нужно, чтобы обе части были положительны:

   $$5-x>0,\qquad 4x-35>0.$$

   Отсюда:

   $$x<5,\qquad x>\frac{35}{4}=8{,}75.$$

   Одновременно эти условия выполниться не могут, значит неравенство не имеет смысла.

Ответ

а) при $$a>1$$: $$7{,}5 \le x < 13$$; при $$0<a<1$$: $$2 < x \le 7{,}5$$; при $$a=1$$ — решений нет.
б) при $$a>1$$: $$6 \le x < 7{,}5$$; при $$0<a<1$$: $$3 < x \le 6$$; при $$a=1$$ — решений нет.
в) решений нет.
г) решений нет.