Упр.15.21 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
б) log3(x — a) > = log3(11 -x);
в) log4(x — a) < = log4(9 - x);
г) log5(x - a) < = log5(7 - x).
Для логарифмического неравенства с одинаковым основанием $$\log_b f(x)\,\square\,\log_b g(x)$$ при $$b>1$$ знак неравенства сохраняется, а при этом обязательно выполняются условия:
$$f(x)>0,\quad g(x)>0.$$
а)
$$\log_2(x-a)\ge \log_2(13-x)$$
Равносильно системе:
$$ \begin{cases} x-a\ge 13-x,\\ x-a>0,\\ 13-x>0. \end{cases} $$
Получаем:
$$ \begin{cases} 2x\ge 13+a,\\ x>a,\\ x<13. \end{cases} $$
То есть
$$ \begin{cases} x\ge \dfrac{13+a}{2},\\ x>a,\\ x<13. \end{cases} $$
Если $$a<13,$$ то решения существуют при
$$\dfrac{13+a}{2}\le x<13.$$
Если $$a\ge 13,$$ то решений нет.
б)
$$\log_3(x-a)\ge \log_3(11-x)$$
Равносильно системе:
$$ \begin{cases} x-a\ge 11-x,\\ x-a>0,\\ 11-x>0. \end{cases} $$
Получаем:
$$ \begin{cases} x\ge \dfrac{11+a}{2},\\ x>a,\\ x<11. \end{cases} $$
Если $$a<11,$$ то
$$\dfrac{11+a}{2}\le x<11.$$
Если $$a\ge 11,$$ то решений нет.
в)
$$\log_4(x-a)\le \log_4(9-x)$$
Равносильно системе:
$$ \begin{cases} x-a\le 9-x,\\ x-a>0,\\ 9-x>0. \end{cases} $$
Получаем:
$$ \begin{cases} x\le \dfrac{9+a}{2},\\ x>a,\\ x<9. \end{cases} $$
Если $$a<9,$$ то
$$a<x\le \dfrac{9+a}{2}.$$
Если $$a\ge 9,$$ то решений нет.
г)
$$\log_5(x-a)\le \log_5(7-x)$$
Равносильно системе:
$$ \begin{cases} x-a\le 7-x,\\ x-a>0,\\ 7-x>0. \end{cases} $$
Получаем:
$$ \begin{cases} x\le \dfrac{7+a}{2},\\ x>a,\\ x<7. \end{cases} $$
Если $$a<7,$$ то
$$a<x\le \dfrac{7+a}{2}.$$
Если $$a\ge 7,$$ то решений нет.
Ответ
а) при $$a<13$$: $$\dfrac{13+a}{2}\le x<13$$; при $$a\ge 13$$ решений нет.
б) при $$a<11$$: $$\dfrac{11+a}{2}\le x<11$$; при $$a\ge 11$$ решений нет.
в) при $$a<9$$: $$a<x\le \dfrac{9+a}{2}$$; при $$a\ge 9$$ решений нет.
г) при $$a<7$$: $$a<x\le \dfrac{7+a}{2}$$; при $$a\ge 7$$ решений нет.
